Question

Encuentra la derivada de la función implícita:

$yx ^{xy} + 5 = 0$
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Answer 1

Respuesta:

$\boxed{y'=-\frac{y^2(\ln x + 1)}{xy \ln x+1}}$

Reglas usadas.

derivada de una suma o resta.

$f(x)=g(x)\pm h(x)\\f'(x)=g'(x) \pm h'(x)$

derivada de un producto.

$f(x)=g(x) \cdot h(x)\\f'(x)=g(x) \cdot h'(x)+h(x) \cdot g'(x)$

Regla de la cadena.

$f(x)=g(h(x))\\f'(x)=g'(h(x)) \cdot h'(x)$

Explicación paso a paso:

Si el $xy$ está elevando sólo a la $x$ entonces:

$\begin{matrix}yx^{xy}+5=0\\ y\cdot e^{\ln x^{xy}}+5=0\\y\cdot e^{xy\ln x}+5=0\end{matrix}$

Derivo ambos miembros.

$(y\cdot e^{xy\ln x}+5)'=(0)'$

$y\cdot (e^{xy\ln x})'+ e^{xy\ln x} \cdot y'=0$

la derivada de $e^{xy\ln x}$ es:

$\begin{matrix}(e^{xy\ln x})'=\\e^{xy\ln x} \cdot (xy \ln x)'=\\x^{xy} \cdot \left [ xy \cdot \left ( \ln x \right )'+\ln x \cdot (xy)' \right ]= \\x^{xy} \cdot\left [ xy\cdot \frac{1}{x}+\ln x \cdot \left ( xy'+y \right ) \right ]=\\\boxed{x^{xy} \cdot \left [ y+\ln x \cdot \left ( xy'+y \right )\right ]}\end{matrix}$

La remplazo y despejo $y'$.

$\begin{matrix}y \cdot x^{xy} \cdot \left [ y+\ln x \cdot \left ( xy'+y \right )\right ] + e^{xy \ln x} \cdot y' =0\\y \cdot x^{xy} \cdot \left [ y+xy'\ln x +y \ln x\right ] + x^{xy} y' =0\\y^2x^{xy}+xyy'x^{xy} \ln x + y^2 x^{xy} \ln x+ x^{xy}y'=0\\y'(xyx^{xy} \ln x+x^{xy})+y^2x^{xy}(\ln x + 1)=0\\y'=\frac{-y^2x^{xy}(\ln x + 1)}{xyx^{xy} \ln x+x^{xy}}\\y'=\frac{-y^2x^{xy}(\ln x + 1)}{x^{xy}(xy \ln x+1)}\\\boxed{y'=-\frac{y^2(\ln x + 1)}{xy \ln x+1}}\end{matrix}$

y esa es la respuesta.