Encuentra el volumen comprendido entre la piramide de base cuadrada y un cono que se construye a partir de una circunferencia inscrita en la base de la piramide. Ten en cuenta que las caras laterales son triangulos isoceles.
Respuestas a la pregunta
Se tiene un cono dentro de una pirámide de base cuadrada, esto indica que el diámetro (D) de la base del cono inscrito es igual a la magnitud de una de las aristas de la base de la pirámide.
Sea “a” la magnitud de los lados de la base de la pirámide y “h” la altura común de ambas figuras y “r” el radio de lavase del cono.
La fórmula del volumen de una pirámide (Vp) es:
Vp = Área de la base x altura (h)/3
La fórmula del volumen de un cono (Vc) es:
Vc = π x radio (r)² x altura(h)/3
Se pide hallar el volumen entre ambas figuras, es decir, se deben restar el volumen de la pirámide menos el volumen del cono para obtener el volumen interno (Vi).
Vi = Vp - Vc
Vi= a² x h /3 - π x (r)² x h/3
Pero r = a/2, entonces:
Vi= a² h /3 - π (a/2)² x h/3 = a² h - π (a/2)2 h/3 = a² h - π (a²/4) h/3
Colocando h y a² como factor común:
Vi = a² h(1 – (π/4)/3 = a² h(4 - π)/12
Vi = a² h(4 - π)/12