Question

encuentra el centro y radio de la siguiente circunferencia X2+y2+4x-14y+44=0​

Answer 1

La circunferencia tiene su centro en:

$\large\boxed{ \bold { (h,k) = (-2,7)}}$

Y su radio es de 3 unidades

 

Solución

Se tiene la ecuación de la circunferencia expresada en la forma general la cual está dada por:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+ 4 x -14y+ 44 = 0 }}$

La ecuación general de la circunferencia responde a la forma:

$\large\boxed{\bold {Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0}}$

Como se solicita hallar el centro y el radio de la circunferencia debemos convertir la ecuación de la circunferencia de la forma general a la forma ordinaria

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h,k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable  r  representa el radio del círculo,  h representa la distancia X desde el origen y  k representa la distancia Y desde el origen

Sea

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+ 4 x -14y+ 44 = 0 }}$

Lo primero que hacemos es pasar 44 al lado derecho de la ecuación cambiando su signo

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}+ 4 x -14y = -44 }}$

Ordenamos los términos de la ecuación escribiendo primero los términos que contienen la literal x y al final los términos que contienen a la literal y

$\boxed{ \bold { x^{2} + 4 x + y^{2} -14y = -44 }}$

Completamos los trinomios de los cuadrados perfectos

Comenzamos completando el cuadrado para $\bold { x^{2} + 4x}$

Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la x con exponente 1

El cual es 4. Luego obtenemos la mitad de ese número

$\bold {\frac{4}{2}= 2 }$

Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 2 al cuadrado

$\bold { 2^{2} = 4 }$

Por tanto al completar el cuadrado para $\bold { x^{2} + 4x}$

Se obtiene

$\bold { x^{2} + 4x+ 4}$

Volvemos a la ecuación de la circunferencia:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 4 x + y^{2} -14y = -44 }}$

Luego reemplazamos a $\bold { x^{2} + 4x}$ por $\bold { x^{2} + 4x+ 4}$

Donde dado que agregamos un 4 a la ecuación colocamos también un 4 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad

Resultando en:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} -14y = -44 +4 }}$

Ahora completamos el cuadrado para $\bold { y^{2} - 14y}$

Nos fijamos en el coeficiente del término que acompaña a la y con exponente 1

El cual es 14. Luego obtenemos la mitad de ese número

$\bold {\frac{14}{2}= 7 }$

Aún nos falta un coeficiente, luego elevamos 7 al cuadrado

$\bold { 7^{2} = 49 }$

Por tanto al completar el cuadrado para $\bold { y^{2} - 14y}$

Se obtiene

$\bold { y^{2} - 14y+ 49}$

Volvemos a la ecuación de la circunferencia:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} -14y = -44 +4 }}$

Luego reemplazamos a  $\bold { y^{2} - 14y}$ por $\bold { y^{2} - 14y+ 49}$

Donde dado que agregamos 49 a la ecuación colocamos también un 49 al otro lado de la ecuación para mantener la igualdad

Resultando en:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} -14y +49= -44 +4 +49 }}$

$\bold { x^{2} + 4x+ 4}$

y

$\bold { y^{2} - 14y+ 49}$

Factorizamos aplicando la regla del trinomio del cuadrado perfecto

$\bold { x^{2} + 4x+ 4}$

$\bold { a^{2} + 2ab+ b^{2} = (a+ b)^{2} }$

$\bold { x^{2} + 4x+ 4= (x+2)^{2} }$

$\bold { y^{2} - 14y+ 49}$

$\bold { a^{2} - 2ab+ b^{2} = (a- b)^{2} }$

$\bold { y^{2} - 14y+ 49 = (y-7)^{2} }$

En la ecuación de la circunferencia reemplazamos:

$\boxed{ \bold { x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} -14y +49= -44 +4 +49 }}$

$\boxed{ \bold { (x+2)^2+(y-7)^2= -44 +4+49 }}$

$\large\boxed{ \bold { (x+2)^2+(y-7)^2=9 }}$

Podemos decir que la circunferencia tiene su centro en:

$\large\boxed{ \bold { (h,k) = (-2,7)}}$

Y que su radio es de 3 unidades