Question

encuentra el área , volumen y perímetro de unos dodecaedro que tiene como arista :

8cm
20m
4m
15cm​

Answer 1

Respuesta:

El dodecaedro es un poliedro regular formado por doce pentágonos regulares iguales.

Calculamos el Área de las caras del dodecaedro a partir de la formula:

$A = 3\cdot \sqrt{25+10\sqrt{5}} \cdot a^{2}$

$Donde: a = arista$

El volumen del dodecaedro se calcula sabiendo la longitud de la arista, mediante la fórmula:

$V = \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})a^{3}$

Entonces hallamos el área de los dodecaedros dados:

Dodecaedro de arista de 8cm:

Hallar el área:

$A = 3\cdot \sqrt{25+10\sqrt{5}} \cdot 8^{2}$

$A = 3\cdot \sqrt{20+5+10\sqrt{5}} \cdot 8^{2}$

$A = 3\cdot \sqrt{4\cdot \:5+5+10\sqrt{5}} \cdot 8^{2}$

$A= 3\cdot \sqrt{\left(\sqrt{4}\right)^2\left(\sqrt{5}\right)^2+10\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2} \cdot 8^{2}$

$A= 3\cdot \sqrt{2^2\left(\sqrt{5}\right)^2+2\cdot \:2\sqrt{5}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}\cdot 8^{2}$

$\mathrm{Aplicar\:la\:formula\:del\:binomio\:al\:cuadrado}:\quad \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

$A= 3\cdot \sqrt{\left(2\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)^2}\cdot 8^{2}$

$A= 3\cdot( 2\sqrt{5}+\sqrt{5})\cdot 8^{2}$

$A=8^2\cdot \:3\sqrt{5}\cdot\:3$

$A=576\sqrt{5}$

Hallar el Volumen:

$V = \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})8^{3}$

$V = \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})512$

$V=128\left(15+7\sqrt{5}\right)$

$V=3923.51$

Dodecaedro de arista de 20m:

Hallar el área:

$A = 3\cdot \sqrt{25+10\sqrt{5}} \cdot 20^{2}$

$A = 3\cdot \sqrt{20+5+10\sqrt{5}} \cdot 20^{2}$

$A = 3\cdot \sqrt{4\cdot \:5+5+10\sqrt{5}} \cdot 20^{2}$

$A= 3\cdot \sqrt{\left(\sqrt{4}\right)^2\left(\sqrt{5}\right)^2+10\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2} \cdot 20^{2}$

$A= 3\cdot \sqrt{2^2\left(\sqrt{5}\right)^2+2\cdot \:2\sqrt{5}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}\cdot 20^{2}$

$\mathrm{Aplicar\:la\:formula\:del\:binomio\:al\:cuadrado}:\quad \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

$A= 3\cdot \sqrt{\left(2\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)^2}\cdot 20^{2}$

$A= 3\cdot( 2\sqrt{5}+\sqrt{5})\cdot 20^{2}$

$A=20^2\cdot \:3\sqrt{5}\cdot\:3$

$A=3600\sqrt{5}$

$A=8049.84$

Hallar Volumen:

$V = \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})20^{3}$

$V=2000\left(15+7\sqrt{5}\right)$

$V=61304.95$

Dodecaedro de arista de 4m:

$A = 3\cdot \sqrt{25+10\sqrt{5}} \cdot 4^{2}$

$A = 3\cdot \sqrt{20+5+10\sqrt{5}} \cdot 4^{2}$

$A = 3\cdot \sqrt{4\cdot \:5+5+10\sqrt{5}} \cdot 4^{2}$

$A= 3\cdot \sqrt{\left(\sqrt{4}\right)^2\left(\sqrt{5}\right)^2+10\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2} \cdot 4^{2}$

$A= 3\cdot \sqrt{2^2\left(\sqrt{5}\right)^2+2\cdot \:2\sqrt{5}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}\cdot 4^{2}$

$\mathrm{Aplicar\:la\:formula\:del\:binomio\:al\:cuadrado}:\quad \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

$A= 3\cdot \sqrt{\left(2\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)^2}\cdot 4^{2}$

$A= 3\cdot( 2\sqrt{5}+\sqrt{5})\cdot 4^{2}$

$A=4^2\cdot \:3\sqrt{5}\cdot\:3$

$A=144\sqrt{5}$

$A=321.99$

Hallar Volumen:

$V = \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})4^{3}$

$V=16\left(15+7\sqrt{5}\right)$

$V=490.43$

Dodecaedro de arista de 15cm:

$A = 3\cdot \sqrt{25+10\sqrt{5}} \cdot 15^{2}$

$A = 3\cdot \sqrt{20+5+10\sqrt{5}} \cdot 15^{2}$

$A = 3\cdot \sqrt{4\cdot \:5+5+10\sqrt{5}} \cdot 15^{2}$

$A= 3\cdot \sqrt{\left(\sqrt{4}\right)^2\left(\sqrt{5}\right)^2+10\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2} \cdot 15^{2}$

$A= 3\cdot \sqrt{2^2\left(\sqrt{5}\right)^2+2\cdot \:2\sqrt{5}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}\cdot 15^{2}$

$\mathrm{Aplicar\:la\:formula\:del\:binomio\:al\:cuadrado}:\quad \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

$A= 3\cdot \sqrt{\left(2\sqrt{5}+\sqrt{5}\right)^2}\cdot 15^{2}$

$A= 3\cdot( 2\sqrt{5}+\sqrt{5})\cdot 15^{2}$

$A=15^2\cdot \:3\sqrt{5}\cdot\:3$

$A=2025\sqrt{5}$

$A=4528.03$

Hallar Volumen:

$V = \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})15^{3}$

$V=\frac{3375\left(15+7\sqrt{5}\right)}{4}$

$V=25863.02$