Question

Encuentra el área entre las funciones f(x)=cosx y g(x)=senx y el intervalo [0,π/4]

Answer 1

El área encerrada entre las dos funciones propuestas y el eje 'y' es igual a $\sqrt{2}-1$

Explicación:

En este caso particular tanto la función seno como la función coseno son positivas en todo el intervalo solicitado por ende el área se calcula mediante la simple aplicación de la integral definida de la resta de ambas funciones.

$A=\int\limits^{\pi/4}_0 {cos(x)-sen(x)} \, dx$

Debido a que la expresión genérica para el área encerrada entre dos funciones f(x) y g(x) es:

$\int\limits^a_b {|f(x)|-|g(x)|} \, dx$

Procedemos a hallar la integral, la cual en efecto es el área del recinto sombreado en la imagen adjunta:

$A=\int\limits^{\pi/4}_0 {cos(x)-sen(x)} \, dx =\int\limits^{\pi/4}_0 {cos(x)} \, dx-\int\limits^{\pi/4}_0 {sen(x)} \, dx\\\\A=[sen(x)]^{\pi/4}_0-[-cos(x)]^{\pi/4}_0=\\\\A=(\frac{\sqrt{2}}{2}-0)-(-\frac{\sqrt{2}}{2}-(-1))\\\\A=\sqrt{2}-1$