Question

encuentra el área de un hexágono que se encuentra dentro de una circunferencia que tiene 5cm de radio.

Answer 1

El area de un hexagono se obtiene de la siguiente formula:
$Area=3\times L\times ap \\ \text{ L= Longitud del lado } \\ ap=apotema$


$ap= \frac{L}{2tan30^o} \\ tan30^o}= \frac{ \sqrt{3} }{3} =0.5774 \\ \\ ap= \frac{L}{2\times 0.5574} \\ \\ ap= \frac{L}{1.1547} \\ \\ Area=3\times L\times \frac{L}{1.1547} \\ \\ Area= \frac{3\times L^2}{1.1547} \\ \\ Area=2.5980\times L^2$

Conociendo el radio (r)  de la circunferencia se obtien el apotema

$ap= \sqrt{r^2- (\frac{r}{2})^2 } \\ \\ \text{ Si el radio es 5cm :} \\ \\ ap= \sqrt{5^2- (\frac{5}{2})^2 }=4.33$

Con el valor del apotema , regresamos a la ecuacion para calcular el lado:

$ap= \frac{L}{1.1547} \\ \\ 4.33= \frac{L}{1.1547} \\ \\ L=4.33\times 1.1547 \\ \\ L=5\hspace{2mm} cm$

Que como veras es igual al valor del lado del hexagono . (Mucho vuelta para llegar a esa conclusion, pero ya sabes de donde sale.
Conociendo el Lado solo aplicas la formula inicial:

$Area=3\times L\times ap \\ \\ Area=3\times 5\times 4.33 \\ \\ \bf Area=64.95\hspace{2mm}cm^2$

O usando esta:
$Area=2.5980\times L^2 \\ \\ Area=2.5980\times 5^2 \\ \\ Area=2.5980\times 25 \\ \\ \bf Area=64.95\hspace{2mm} cm^2$