Question

.- Encuentra el área de la región entre la parábola x = y² - 2 y la recta x = y en el intervalo [-2,2], de la siguiente manera:
a) Grafica la recta y la parábola
b) Encuentra los puntos de intersección
c) Calcula el área como la suma de las dos regiones determinadas por b), que debes utilizar como límite de integración de las diferencias de las funciones adecuadas

Answer 1

El área bajo las curvas x = y²-2, x = y es:

A = 16/3 unidades

Ver la gráfica en la imagen adjunta.

Puntos de intersección:

y₁ = 2 ⇒ x₁ = 2

y₂ = -1 ⇒ x₂ = -1

Explicación:

Datos;

Parábola: x = y²-2 ⇒ y = √x+2

recta: x = y  

intervalo [-2,2]

Hallar los puntos de intersección:

igualar;  

y²-2 = y

igualar cero;

y²-y -2 = 0

Aplicar la resolvente;

y₁,₂ = [1±√1²-4(1)(-2)]/2

y₁,₂ = [1±√9)]/2

y₁,₂ = [1±3)]/2

y₁ = 2 ⇒ x₁ = 2

y₂ = -1 ⇒ x₂ = -1

Calcular el área bajo la curva;

 $\int\limits^a_b {f(x)-g(x)} \, dx$

Siendo;

a = -2

b = 2

f(x) = √x+2

g(x) = x

Sustituir;

 $\int\limits^2_{-2} {(\sqrt{x+2} -x)} \, dx$

 Aplicar propiedad de la suma;

 $\int\limits^2_{-2} {(\sqrt{x+2})} \, dx -\int\limits^2_{-2} {x} \, dx$

$-\int\limits^2_{-2} {x} \, dx = 0$

cambio de variable:

u = x+2, du = 1 sustituir;

$\int\limits^2_{-2} {\sqrt{u} } \, du$

 $=\frac{2}{3}u^{3/2} /^{2}_{-2}$

 Devolver el cambio;

= 2/3(x+2)^{3/2}  

evaluar;

= 2/3(2+2)^{3/2} - 2/3(-2+2)^{3/2}  

= 16/3