Question

Encuentra el ángulo obtuso (el que mide más de 180°) del triángulo cuyos vértices son: A(1, 2), B(- 4, 3) y C(2, - 2) ​

Answer 1

En ese triángulo, el ángulo interno del vértice A es obtuso.

Explicación paso a paso:

En un ángulo obtuso, la función coseno es negativa, por lo que podemos primero hallar las longitudes de los lados:

$AB=\sqrt{(1-(-4))^2+(2-3)^2}=\sqrt{26}\\\\BC=\sqrt{(-4-2)^2+(3-(-2))^2}=\sqrt{61}\\\\AC=\sqrt{(1-2)^2+(2-(-2))^2}=\sqrt{17}$

Y podemos utilizar el teorema del coseno para hallar el coseno de cada ángulo y evaluar el signo que tienen:

$AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.cos(B)\\AB^2=AC^2+BC^2-2.\sqrt{61}.cos(C).\sqrt{17}\\BC^2=AB^2+AC^2-2.\sqrt{17}.\sqrt{26}.cos(A)\\\\cos(B)=\frac{AC^2-AB^2-BC^2}{-2AB.BC}=\frac{17-26-61}{-2\sqrt{26}.\sqrt{61}}=\frac{70}{2\sqrt{1586}}\\\\cos(C)=\frac{26-17-61}{-2\sqrt{17}.\sqrt{61}}=\frac{52}{2\sqrt{1037}}\\\\cos(A)=\frac{BC^2-AB^2-AC^2}{-2\sqrt{26}.\sqrt{17}}=\frac{61-26-17}{-2\sqrt{26}.\sqrt{17}}=-\frac{18}{2\sqrt{442}}$

Vemos que el coseno del ángulo A es negativo, por lo tanto, el ángulo del vértice A es obtuso.