Question

encuentra el ángulo B del triángulo siguiente si un lado mide 8 y el otro 12 y la base 6, y el ángulo A es de 35° y el ángulo c es de 114° cuanto mide el ángulo B ​

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

de precisión. Para medir alturas se basaban en la longitud de la sombra y el ángulo de  elevación del sol sobre el horizonte. En este procedimiento se utilizó una relación entre las  longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que es lo que conocemos hoy como la  relación pitagórica.

5.1 Triángulos rectángulos

Como ya se ha definido, un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado  opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

5.2.3 Teorema de Pitágoras

Resolución de  Triángulos  Rectángulos  c  b  a  A B  C  a : hipotenusa del triángulo rectángulo

Δ

BAC

b : cateto

c : cateto

c  b  a

A B  C

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la  hipotenusa es igual a la suma de los  cuadrados de los catetos. Es decir:  2 2 2 a = b + c

A esta relación se le llama relación pitagórica.  El triángulo de lados 3, 4 y 5 unidades, llamado  perfecto o sagrado, fue usado por los egipcios  para trazar ángulos rectos. En sus papiros se  observa que después de las inundaciones del  Nilo y construyendo triángulos rectángulos con  cuerdas, fijando los límites de las parcelas,  trazaban direcciones perpendiculares.  

106  5.2.3 El recíproco del teorema de Pitágoras  Si en un triángulo  Δ  ABC se cumple 2 2 2 a = b + c , entonces  Δ  ABC es rectángulo y el ángulo  recto es el ángulo cuyo vértice es A.  Nota: Si tres números, a, b y c verifican una de las tres relaciones pitagóricas entonces,  podemos construir un triángulo rectángulo cuyos lados tienen como longitudes a, b y c.

Queda para el lector verificar que las ternas de números utilizadas por los egipcios y los  hindúes cumplen con la relación pitagórica.

5.2.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la  hipotenusa?  Solución  Si llamamos: a a la hipotenusa; b y c a los catetos, aplicando el teorema de Pitágoras  tenemos 12 5 169 2 2 2 a = + = ⇒ a = 169 = 13  por lo que obtenemos que la hipotenusa mide 13 cm

Ejemplo 2: Dado el triángulo de la figura, con los siguientes datos: e = 9cm , g = 4.5cm y  ο β = 30 . Calcular : f y α  Solución  Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:  e2 = f2  + g2  al reemplazar por los datos, tenemos:

e2 = f

2 + 4.52⇒ f

2  = g2 – 4.52 = 60.75

⇒ f = 60.75 ≅ 7.8

Por lo tanto: f ≅ 7.8cm

Para calcular el ángulo α , tenemos que α y β son complementarios (¿Porqué?), por lo tanto:  ο ο ο

α = 90 − 30 = 60

Ejemplo 3: Dado el  Δ

ABC tal que:

a) a = 10 cm , b = 8 cm y c = 6 cm

b) a = 9 cm , b = 11 cm y c = 5 cm

Decidir si los datos dados en a) y/o en b) corresponden a un triángulo rectángulo.  Solución

Tenemos que aplicar el recíproco del teorema de Pitágoras  Para los datos dados en a), si es rectángulo, la hipotenusa debería ser a y lo otros dos los  catetos, en consecuencia debería cumplirse:

2 2 2 a = b + c

(1) 100 2 a =

(2) 8 6 10