Question

Encontrar todas las triplas de numeros reales (x; y; z) que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:
xy + 1 = 2z
yz + 1 = 2x
zx + 1 = 2y

Answer 1

Las ternas que satisfacen las tres ecuaciones son $(1,1,1)$ y $(-2,\frac{5}{2},-2)$

Explicación paso a paso:

Para resolver este sistema de ecuaciones podemos comenzar sustituyendo la primera ecuación en la segunda:

$y=\frac{2x-1}{z}\\\\x\frac{2x-1}{z}+1=2x\\\\\frac{2x^2-x}{z}+\frac{z}{z}=2x\\\\2x^2-x+z=2xz\\\\2x^2-x=2xz-z\\\\x(2x-1)=z(2x-1)\\\\z=x$

Tenemos que las ternas tienen que tener z=x, si operamos en la tercera ecuación nos queda:

$zx+1=2y\\x^2+1=2y\\\\y=\frac{2x-1}{z}; z=x=>y=\frac{2x-1}{x}\\\\x^2+1=2\frac{2x-1}{x}\\\\x^3+x=4x-2\\\\x^3-3x+2=0$

De aquí sacamos los valores de x que satisfacen las 3 ecuaciones, uno de ellos es 1, si aplicamos Ruffini queda:

$~~|1~~0~~-3~~2\\1 |~~~~1~~~1~~-2\\--------\\~~|1~~1~~-2~~0$

Y resolvemos la ecuación cuadrática:

$x^2+x-2=0\\\\x=\frac{-1\ñ\sqrt{1^2-4.1.(-2)}}{2.1}=\frac{-1\ñ3}{2}\\\\x=1; x=-2$

Entonces, las ternas que satisfacen las tres ecuaciones quedan:

$(x,\frac{2x-1}{x},x)\\\\(1,\frac{2.1-1}{1},1)=(1,1,1)\\\\(-2,\frac{2.(-2)-1}{-2},-2)=(-2,\frac{5}{2},-2)$