Question

Encontrar la longitud de la curva de la función polar r = 3 - 3 cos α.

Answer 1

La longitud de la curva de la función propuesta es 24.

Explicación:

Al ser α un ángulo, podemos asumir que varía entre 0 y 2π, y podemos utilizar la expresión de la longitud de la curva para coordenadas polares, la cual es:

$s=\int\limits^{2\pi}_0 {\sqrt{f(\alpha)^2+f'(\alpha)^2}} \, d\alpha$

Si es r=f(α), podemos expresar las funciones que necesitamos como:

f(α)=3-3cos(α)

f'(α)=3sen(α)

Y luego reemplazarlas en la expresión de la longitud de la curva:

$s=\int\limits^{2\pi}_0 {\sqrt{(3-3cos(\alpha))^2+(3sen(\alpha))^2}} \, d\alpha\\\\s=\int\limits^{2\pi}_0 {\sqrt{(9-18cos(\alpha)+9cos^2(\alpha))+9sen^2(\alpha)}} \, d\alpha\\\\s=\int\limits^{2\pi}_0 {\sqrt{9-18cos(\alpha)+9}} \, d\alpha=\int\limits^{2\pi}_0 {\sqrt{18-18cos(\alpha)}} \, d\alpha$

En el segundo término multiplicamos y dividimos el radicando por su conjugado y sacamos factor común:

$s=\sqrt{18}\int\limits^{2\pi}_0 {\sqrt{(1-cos(\alpha))\frac{1+cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}}} \, d\alpha\\\\s=\sqrt{18}\int\limits^{2\pi}_0 {\sqrt{\frac{1-cos^2(\alpha)}{1+cos(\alpha)}}} \, d\alpha\\\\s=\sqrt{18}\int\limits^{2\pi}_0 {\frac{sen(\alpha)}{\sqrt{1+cos(\alpha)}}} \, d\alpha\\\\u=1+cos(\alpha)=>du=-sen(\alpha)d\alpha\\\\s=\sqrt{18}\int\limits^{2\pi}_0 {\frac{-1}{\sqrt{u}}} \, du=-2\sqrt{18}[\sqrt{1+cos(\alpha)}]^{2\pi}_0=-2\sqrt{18}[\sqrt{1+cos(2\pi)}-\sqrt{1+cos(0)}]$

La raíz cuadrada puede ser tanto positiva como negativa, si en ambos sumandos tiene el mismo signo la longitud da 0, lo cual no se condice con la realidad, podemos asumir que da negativa en el primer sumando y positiva en el otro:

$s=-2\sqrt{18}(-\sqrt{2}-\sqrt{2}))=4\sqrt{18}\sqrt{2}=4\sqrt{36}\\\\s=24$