Question

encontrar la ecuación general de la circunferencia y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos p(1,1) q(3,3) y m(-8,8)​

Answer 1

La circunferencia para por los puntos p(1,1) , q(3,3) , m(-8,8).

Para hallar su ecuación general, sustituimos cada punto en la ecuación general de la circunferencia:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Con p(1,1):

$1^2+1^2+A(1)+B(1)+C=0\\\\A+B+C=-2$

Con q(3,3):

$3^2+3^2+A(3)+B(3)+C=0\\\\3A+3B+C=-18$

Con m(-8,8):

$(-8)^2+8^2+A(-8)+B(8)+C=0\\\\-8A+8B+C=-128$

Y resolvemos el sistema de ecuaciones generado para A,B,C:

$(1):A+B+C=-2\\(2):3A+3B+C=-18\\(3):-8A+8B+C=-128$

$(2)-(1):\\3A+3B+C=-18\\A+B+C=-2\\----------\\2A+2B=-16--->(4)$

$(1)-(3):\\A+B+C=-2\\-8A+8B+C=-128\\------------\\9A-7B=126--->(5)$

$7(4)+2(5):\\14A+14B=-112\\18A-14B=252\\--------------\\32A=140\\\\A=\frac{140}{32} \\\\A=\frac{35}{8}$

$(4):\\\\2(\frac{35}{8} )+2B=-16\\\\2B=-16-\frac{35}{4}\\\\B=-\frac{99}{8}$

$(1):\\\\\frac{35}{8}-\frac{99}{8}+C=-2\\\\C=-2+8\\\\C=6$

Con los valores de A=35/8; B=-99/8; C=6. Sustituimos de nuevo en la ecuación general de la circunferencia:

Respuesta: Ec. General: $x^2+y^2+\frac{35}{8}x-\frac{99}{8}y +6=0$

Para el radio, pasamos la ecuación general a la forma ordinaria:

$x^2+\frac{35}{8}x+y^2-\frac{99}{8}y=-6\\\\x^2+\frac{35}{8}x+\frac{1225}{16}+y^2-\frac{99}{8}y+\frac{9801}{256} =-6+\frac{1225}{16}+\frac{9801}{256} \\\\(x+\frac{35}{16} )^2+(y-\frac{99}{16} )^2=\frac{4745}{128}$

Como la forma ordinaria es:

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

Eso quiere decir que el radio es:

$r^2=\frac{4745}{128}\\\\r=\frac{\sqrt{9490} }{16}$

Respuesta: Radio= $\frac{\sqrt{9490} }{16}$

Te dejo una foto con la comprobación de la ecuación y los puntos por donde pasa.