Question

Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto de intersección de las rectas X - Y = 1 , 2x+3y=22 , y que sea tangente a la recta L1: 3x + 4y = 16 .

Answer 1

El centro si creo que puedes hallar fácilmente resolviendo el sistema de ecuaciones de dos incógnitas...obtén ese punto...y luego tienes que aplicar la fórmula de distnacia entre punto recta...

Si dice que una recta es tangente a la circunferencia, entonces la distancia del centro  a la recta se le llama RADIO, debes buscar esa distancia, con la siguiente fórmual,

$d(P,r)=\displaystyle\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

donde, la recta del numerador es la recta que te dan...es decir que,

$d(P,r)=\displaystyle\frac{|3x+4y-16|}{\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}}$

y las coordenadas (x,y) representa el punto de la distancia a la recta, en éste caso representa el centro que resolviendo el sistema nos arroja C:(5,4)=(x,y), entonces

$d(P,r)=\displaystyle\frac{|3(5)+4(4)-16|}{\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}}=\frac{|15|}{5}=3$

entonces la distancia del punto (centro) a la recta tangente...es de 3, entonces el radio vale 3, y ya...

la ecuación de la cirncunferencia con centro distitnto del origen,

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \\ (x-5)^{2}+(y-4)^{2}=9$

y eso sería todo...