Question

Encontrar el valor medio de la función y=√x en el intervalo [1,3]. Grafique en Geogebra la función, tome un pantallazo y usando Paint señale el valor medio de la función en el intervalo dado.

Answer 1

El valor medio de la función $y=\sqrt{3}$ en el intervalo [1;3] es $\frac{3\sqrt{3}-1}{3}$

Explicación:

El valor medio de una función en un intervalo se define como el promedio de todos los valores que toma en ese intervalo, en funciones continuas este es:

$<f>=\frac{1}{b-a}\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

En el caso de la función que nos ocupa, la ecuación a resolver es:

$<f>=\frac{1}{3-1}\int\limits^3_1 {\sqrt{x}} \, dx$

Que se reescribe como:

$<f>=\frac{1}{3-1}\int\limits^3_1 {x^{\frac{1}{2}} } \, dx$

Ahora resolviendo la integral nos queda:

$<f>=\frac{1}{3-1}\int\limits^3_1 {x^{\frac{1}{2}} } \, dx=[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]_1^3\\\\<f>=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}(3\sqrt{3}-1\sqrt{1})=\frac{3\sqrt{3}-1}{3}$