Question

Encontrar el radio y la altura del cilindro circular recto con el mayor volumen que puede inscribirse en un cono circular recto de 7 cm de radio y 13 cm de altura (figura 2).

Answer 1

El cilindro circular recto con el mayor volumen será de 14/3 cm de radio y 13/3 cm de altura.

Explicación paso a paso:

Este es un problema de optimización, llamaremos a la altura del cilindro y, el radio del cilindro x.

Se obtienen las ecuaciones:

Se tiene que por semejanzas de triángulos

$\frac{h}{r} =\frac{h-y}{x}$

es decir, la altura del cono es a el radio del cono, como la altura del cono menos el cilindro, es al radio del cilindro, por semejanza.

Se despeja x

$x =\frac{(h-y)*r}{h}$

El volumen de un cilindro es igual a πr²h, sustituyendo x e y.

V = πx²y

Sustituyendo x, nos queda:

$V =\pi(\frac{(h-y)*r}{h})^2*y$

Simplificando

$V =\pi(\frac{r^2}{h^2})*(h^2-2hy+y^2)*y$

$V =\pi(\frac{r^2}{h^2})*(h^2*y-2hy^2+y^3)$

Se calcula la primera derivada

$V' =\pi(\frac{r^2}{h^2})*(h^2-4hy+3y^2)$

Se iguala la primera derivada a 0 para obtener los valores máximo y mínimo

$0 =\pi(\frac{r^2}{h^2})*(h^2-4hy+3y^2)$

Se despeja y

$0 =h^2-4hy+3y^2$

Se calculan los valores de y con la ecuación cuadrática

$y = \frac{b ± \sqrt{b^{2}-4a*c} }{2*a}$

Sustituyendo los valores nos queda

$y = \frac{4h + \sqrt{16h^{2}-12h^{2}}}{6}$

$y = \frac{4h + \sqrt{4h^{2}}}{6} = \frac{6h}{6} = h$

Para y = h, no tenemos ningún cilindro por lo cual se calcula el otro valor:

$y = \frac{-4h - \sqrt{16h^{2}-12h^{2}}}{6}$

$y = \frac{4h - \sqrt{4h^{2}}}{6} = \frac{2h}{6} = \frac{h}{3}$

Con el valor de y, se calcula la segunda derivada de V"

$V" =\pi(\frac{r^2}{h^2})*(-4h+6y)$

Se sustituye el valor de y en la segunda derivada

$V" =\pi(\frac{r^2}{h^2})*(-4h+6 \frac{h}{3})$

Se simplifica

$V" =\pi(\frac{r^2}{h^2})*(-4h+2h)$

Aquí no se calcula nada se evalúa el término, resultando un término negativo por lo cual hay un máximo en ese punto.

Se sustituye el valor de y en la ecuación de despeje de x para obtener el valor de x

$x =\frac{(h-\frac{h}{3})*r}{h}$

Se simplifica

$x =\frac{\frac{2h}{3})*r}{h}$

Se cancelan las h, y queda

$x =\frac{2}{3})*r$

Se sustituyen los valores y se obtiene la altura y radio del cilindro

x = 2*7/3 = 14/3

y = 13/3

El volumen del cilindro será

V = πx²y = π*14/3²*13/3 = 296,5 cm³

El cilindro circular recto con el mayor volumen será de 14/3 cm de radio y 13/3 cm de altura.