Question

Encontrar el punto de intersección (x,y) con x positivo, entre el círculo con centro en el origen y radio √80y la recta que pasa por los puntos (-10,2) y (18,14).

Answer 1

Respuesta:

(4,8)

Explicación paso a paso:

Primero se planea la ecuación de la circunferencia con centro (0,0)  y radio $\sqrt{80}$ , siendo $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} => (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=\sqrt{80}^{2} => x^{2} +y^{2}-80=0$

*h y k son los puntos donde se inicia la circunferencia (h,k) y r el radio

y luego la ecuación de la recta, se calcula la pendiente usando la siguiente forma:

$y=mx+b => m=\frac{Y2-Y1}{X2-X1} <=> m=\frac{14-2}{18+10} =\frac{3}{7} => y=\frac{3}{7} x+b$

y luego se calcula la ecuación reemplazando uno de los dos puntos de la recta. Al final quedaría lo siguiente: $y=\frac{3}{7} x+\frac{44}{7}$

Reemplazamos la y de la ecuación de la recta, en la ecuación de la circunferencia :

$x^{2} +(\frac{3}{7} x+\frac{44}{7})^{2}-80=0$  Desarrollamos la ecuación

$-\frac{1984}{49}+\frac{58x^2}{49}+\frac{264x}{49}=0$  y usamos la formula general para encontrar los valores de x

$x1.x2=\frac{-\frac{264}{49}\pm \sqrt{\left(\frac{264}{49}\right)^2-4\cdot \frac{58}{49}\left(-\frac{1984}{49}\right)}}{2\cdot \frac{58}{49}} => x_{1,\:2}=\frac{-\frac{264}{49}\pm \frac{104}{7}}{2\cdot \frac{58}{49}} => x_1=4,\:x_2=-\frac{248}{29}$

ya que nos piden el x positivo, se usara el "4" reemplazando en la función de la recta

$y=\frac{3}{7} *4+\frac{44}{7} => y=8$

Entonces el punto de intersección es (4,8)