Question

Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas f(x)=-x^3+3x y g(x)=x^2. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale con colores las regiones integradas

Answer 1

El área de la región entre las curvas es: $\frac{73}{12}$

El primer paso es encontrar las intersecciones entre las curvas dadas. Si no existe intersección, entonces no hay una región entre ambas. Caso contrario se puede hallar los valores de las intersecciones para así conocer los límites de integración.

Igualando ambas curvas se conocen los puntos de intersección, si existen:

$f(x)=-x^3+3x\\g(x)=x^2\\f(x)=g(x)\\-x^3+3x=x^2\\-x^3-x^2+3x=0$

Ahora resolvemos el polinomio para los valores de x que verifiquen:

$-x^3-x^2+3x=0\\x(-x^2-x+3)=0$

Factorizando para x tenemos que la primera intersección de las curvas se encuentra en x=0. El próximo paso es resolver la ecuación cuadrática restante.

$-x^2-x+3=0$

Sus raíces son:

$x=-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{13} }{2} , x=\frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}$

En la gráfica se muestran los valores obtenidos.

Para obtener el área de estas regiones se utiliza la siguiente fórmula:

$\int\limits^b_a {[g(x)-f(x)]} \, dx$

En donde g(x) es la curva que se encuentra por encima del área, y f(x) por debajo. Así que la gráfica nos da información adicional para resolver el ejercicio.

Reemplazando ahora los valores siguiendo los puntos mencionados:

Para el área violeta:

La curva superior es $g(x)$ y la curva inferior $f(x)$

$A1= \int\limits^{0}_{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}} {x^2-(-x^3+3x)} \, dx=\int\limits^{0}_{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}} {x^2+x^3-3x} \, dx$

Integrando y evaluando:

$A1=\frac{1}{24} (73+13\sqrt{13})$

Para el área verde:

La curva superior es $f(x)$ y la curva inferior $g(x)$

$A2= \int\limits^{\frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}}_{0} {-x^3+3x-x^2} \, dx$

Integrando y evaluando:

$A2=\frac{1}{24} (73-13\sqrt{13})$

Ahora con ambas áreas sumamos para obtener el resultado final:

$A1+A2 = \frac{73}{12}$