Question

Encontrar dos números naturales consecutivos cuya suma de los cuadrados es igual a 58. ¿Cuáles son esos números ? help

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Sean dos números naturales consecutivos $a$ y $b$. Vamos a construir un sistema de ecuaciones con los enunciados del problema.

Como son consecutivos, podemos decir que si le summos una unidad al menor, obtendremos el mayor. si suponemos que $a$ es menor que $b$

$a+1=b$

También sabemos que la suma de los cuadrados de cada número será igual a 58.

$a^{2} +b^{2} =58$

Ahora juntamos las ecuaciones y formamos el sistema.

$\left \{ {{a+1=b} \atop {a^{2}+b^{2} =58}} \right.$

Como ya sabemos el valor de $b$ ,$a+1$, vamos a sustituirlo en la ecuación inferior

$a^{2} +(a+1)^{2} =58$

Aplicamos identidades notables y reorganizamos

$a^{2} +a^{2}+2a+1=58\\2a^{2} +2a+1=58\\2a^{2} +2a=57\\2a^{2} +2a-57=0$

Si aplicamos la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación, vamos a cambiar la variable $a=x$ para que no nos cofundamos con las letras. Ahora que hemos cambiado la variable, $a=2$, $b=2$ y $c=-57$

$x=\frac{-b(+/-)\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

$x=\frac{-2(+/-)\sqrt{2^{2}-4(2)(57) } }{2(2)} =\frac{-2(+/-)\sqrt{4 +456 } }{4} =a=\frac{-2(+/-)\sqrt{460 } }{4}$

Ahí vamos a detenernos, porque sea cual sea el resultado de la ecuación, $\sqrt{460}$ no es un número natural ($\sqrt{460} =21.4476...$) entonces, el resultado de la ecuación será un número real, pero no será un natural.

Por lo tanto, concluimos que no existen dos números naturales consecutivos cuya suma de los cuadrados sea igual a 58