Question

En una proporcion geometrica continua, el primer termino es 1/9 del cuarto termino, si la suma de los 4 terminos de la proporcion es 64. Hallar el termino medio de la proporcion

Answer 1

Respuesta:

El término medio es 12.

Explicación paso a paso:

Por ser proporción geométrica continua, tiene la siguiente forma:

$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k$

En donde, "a" es el primer término; "b" es el término medio, que se repite; y "c" es el cuarto término.

El ejercicio dice que el primer término es 1/9 del cuarto término; es decir:

$a=\frac{c}{9}$

lo cual equivale a decir que  

$c=9a$

Igualmente, gracias a la proporción, puede establecerse esta igualdad entre producto de medios y producto de extremos:

$a*c=b*b$

es decir:  

$ac=b^{2}$

pero  

$c=9a$

por lo que podemos reemplazar a c por dicho valor y tenemos:

$9a*a=b^{2}$

es decir:  

$9a^{2}=b^{2}$

Si extraemos raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad, tenemos:

$\sqrt{9a^{2}}=\sqrt{b^{2}}$

es decir, entre los exponentes y los radicales se cancelan y sacamos raíz cuadrada a 9:  

$3a=b$

Ahora que tenemos las equivalencias de "b" y "c", podemos ensamblar la ecuación sobre la suma de los 4 términos, así:

$a+b+b+c=64\\a+2b+c=64$

haciendo los reemplazos con las equivalencias encontradas, se tiene:

$a+6a+9a=64\\16a=64\\\\a=\frac{64}{16}\\\\a=4$

Si b=3a, entonces

b=3*4

b=12  este es el término medio

Despejemos c, para verificar si el resultado cumple con las condiciones del problema:

c=9a

c=9*4

c=36

Efectivamente, 4 que vale "a" es 1/9 de 36 que vale "c"

La suma de a+2b+c debe dar 64

4+2(12)+36=64 Ok.

Pero verifiquemos también con el postulado que dice: "En la proporción geométrica continua se cumple que la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los términos extremos"

según lo anterior:

$12=\sqrt{4*36}\\12=\sqrt{144}\\12=12$OK.