Question

En una proporción el producto de los medios vale 96 y la suma de los mismos, 20. Hallar los 4 términos de la
proporción sabiendo que los extremos de la misma suman 35.
porfa paso a paso​

Answer 1

Los cuatro términos de la proporción son        3 : 8  =  12 : 32        siendo los extremos  3  y  32    y los medios    8  y  12.

Explicación:

Una proporción es una relación constante entre magnitudes.

Supóngase que se conoce que dos magnitudes (a, b) tiene una relación similar a otras dos magnitudes (c, d), de forma tal que se plantea:

b/a  =  d/c    que se lee,     "a  es  a  b  como  c  es  a  d",    es decir,    

a : b  =  c : d

a  y  d  se conocen como extremos de la proporción y  b  y  c  como medios de la proporción.

Con esto y la información dada, planteamos un sistema de ecuaciones:

Proporción:               b/a  =  d/c        ⇒        b*c  =  a*d

Producto de los medios vale 96:                b*c  =  96

Suma de los medios vale 20:                b  +  c  =  20

Suma de los extremos vale 35:                a  +  d  =  35

Vamos a usar el método de sustitución para resolver el sistema:

De la segunda ecuación despejamos  c  y se sustituye en la tercera:

b*c  =  96        ⇒       c  =  96/b        ⇒

b  +  c  =  20        ⇒        b  +  96/b  =  20        ⇒        b²  +  96  =  20b        ⇒

b²  -  20b  +  96  =  0      

Factorizamos usando la técnica de binomios con términos semejantes

b²  -  20b  +  96  =  0        ⇒       (b  -  12)(b  -  8)  =  0

De aquí se tienen dos resultados posibles,    

b  =  12    y    b  =  8

Para cada uno de ellos hay un valor de  c,    

c  =  96/12  =  8    y    c  =  96/8  =  12

Ahora, conociendo que    b*c    es  96  y que es igual a    a*d,    repetimos el procedimiento empleado para hallar  b  y  c  con  a  y  d.  

De la ecuación    a*d  =  96    despejamos  d  y se sustituye en la cuarta:

a*d  =  96        ⇒        d  =  96/a        ⇒

a  +  d  =  35        ⇒        a  +  96/a  =  35        ⇒        a²  +  96  =  35a        ⇒

a²  -  35a  +  96  =  0      

Factorizamos usando la técnica de binomios con términos semejantes

a²  -  35a  +  96  =  0        ⇒       (a  -  32)(a  -  3)  =  0

De aquí se tienen dos resultados posibles,    

a  =  32    y    a  =  3

Para cada uno de ellos hay un valor de  d,    

d  =  96/32  =  3    y    d  =  96/3  =  32

Ahora solo falta ubicar los valores en forma correcta:

              b/a  =  d/c        ⇒        8/3  =  32/12

Ya que    b  +  c  =  20    y    a  +  d  =  35

Los cuatro términos de la proporción son        3 : 8  =  12 : 32        siendo los extremos  3  y  32    y los medios    8  y  12.