Question

en una progresión aritmética el séptimo término es 8, y la suma de los términos cuarto y sexto vale 10.
a) calcula el término general.
b) escribe los 7 primeros términos.
c)calcula la suma de los 20 primeros términos

Answer 1

Sabiendo que cada término de una PA se obtiene a partir de sumar un número fijo llamado diferencia (d) se puede plantear esto:

Si a₇ = 8 ... entonces ... a₆ = 8 - d ... y también a₄ = 8 - d - d - d = 8 - 3d

Como nos dice que...     a₄+a₆ = 10  sustituyendo ...
$(8-3d)+(8-d) = 10 \\ 16-4d=10 \\ 16-10=4d \\ d= \frac{6}{4} =1,5$

Sabiendo el dato de la diferencia lo primero es hallar el primer término a₁ y según la fórmula del término general:

$a_n=a_1+(n-1)*d \\ 8 = a_1+(7-1)*1,5 \\ a_1=8-(6*1,5)=8-9=-1$

El término general se obtiene sustituyendo los datos conocidos:
$a_n=a_1+(n-1)*d \\ a_n=-1+(n-1)*1,5 \\ a_n=-1+1,5n-1,5 \\ a_n=1,5n-2,5$

Ahí está la fórmula para hallar cualquier término de esta progresión aritmética, es decir, la fórmula del término general. Dando valores a "n" (1, 2, 3, 4... etc...) saldrá toda la progresión.

b) Los 7 primeros términos se obtienen dando valores a "n" desde 1 hasta 7 en esa fórmula o bien tomando el primer término -1 e ir sumándole 1,5 unidades para ir hallando los siguientes.

c) La suma de los 20 primeros términos se obtiene con la fórmula de suma de términos de una PA.

$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

En este caso, $a_n= a_{20}$  cuyo valor debes obtener de la fórmula del término general que he calculado más arriba. 
El valor de "n" será 20.
Sólo tienes que sustituir todos los datos en esta otra fórmula y obtienes la solución.

Saludos.