Question

En una progresión aritmética de 10 términos el producto de los dos términos que ocupan los lugares medios es 195 y la suma del tercero con el noveno es 30. Calcular la diferencia y el primer término.

Answer 1

Explicación paso a paso:

dividir 10 productos ÷ 195 + (30 luego vas a dividir y con lo que dividistes ósea la respuesta que te dara lo pones en el 30

Pero abajo y listo c:

Answer 2

Respuesta:

diferencia: 2

primer término: 5

Explicación paso a paso:

Como estamos trabajando en una progresión aritmética nos va a servir mucho la formula para obtener un término de la progresión:

$a_{n} = a_{1} + (n-1)d$

Nos dicen que está progresión tiene 10 términos y que el producto (multiplicación) entre los lugares medios es 195.

Si te fijas los medios en está progresión son los lugares 5 y 6, entonces podemos decir que el término 5 y 6 al multiplicarlos dan 195.

$a_{5} * a_{6} = 195$

Pero si recuerdas la formula para obtener un termino ($a_{n} = a_{1} + (n-1)d$), podemos remplazar cada término en función de esa formula, nos queda así:

$(a_{1} + 4d) (a_{1} + 5d) = 195$

Tenemos dos incógnitas, nuestro primer término de la progresión y la diferencia, entonces necesitamos un poco más de información.

Luego dice que la suma del tercer término mas el noveno dan 30, así que podemos representarlo así: $a_{3} + a_{9} = 30$

Utilizamos nuestra formula y representamos esa suma en función de la formula:

$(a_{1} + 2d) + (a_{1} + 8d) = 30$

Esto es un poco mas fácil de calcular, entonces lo operamos:

$2a_{1} + 10d = 30$ -> Factorizamos por 2 -> $2(a_{1} + 5d) = 30$ -> y dividimos en ambos lados por 2, nos queda esto:

$a_{1} + 5d = 15$, esto nos dice que nuestro sexto término es igual a 15, ya que si te das cuenta la ecuación esta en función de la formula para el sexto término.

Volviendo a la ecuación de $(a_{1} + 4d) (a_{1} + 5d) = 195$, nosotros ya conocemos el sexto término, entonces podemos remplazarlo:

$15(a_{1} + 4d) = 195$ -> dividimos en ambos lados por 15 -> $(a_{1} + 4d) = 13$, y con esto ya sabemos que el quinto termino es 13.

Como estamos trabajando en una progresión aritmética conociendo dos términos seguidos podemos sacar su diferencia.

$a_{6} - a_{5} = 2$ -> $15 - 13 = 2$, con eso sabemos que nuestra diferencia es 2, y ahora podemos remplazar en cualquier otra ecuación de términos para saber el primer término:
$15 = a_{1} + (5) * 2$ -> $a_{1} = 5$.

Saludos