Question

En una población N (θ, 5), se efectúan sobre el valor de la media dos posibles hipótesis:
H0: θ = 12 y H1: θ = 15
Mediante una muestra de tamaño n=25 m.a.s se contrasta H0 frente a H1, sabiendo que si la media muestral es inferior a 14, se aceptará H0. Determinar:
La probabilidad de cometer el error de primera especie.
La probabilidad de cometer el error de segunda especie.
La potencia del contraste.

Answer 1

Respuesta: 

Este ejercicio viene definido por la potencia de un contraste. 

Debemos identificar los datos, primero tenemos N(Ф,5) donde Ф serán las hipótesis y 5 representa la desviación estándar (σ). 

Tenemos dos hipótesis, la primera (Ho) cuando Ф = 12 y la segunda cuando Ф  = 15. 

Otros datos son el espacio muestral es decir n = 25 y el limite de las hipótesis es 14. 

a) Error de primera especie: Se define cuando se toma valida la hipótesis 1 pero en realidad es verdadera la hipótesis 2. Tenemos:

                                             P (E₁) = P(Rech Ho| Ho cierta)
                                                         = P(ξ ≥ 14| Ф = 12)
                                                         = P (N ( 12 , 5/√25) ≥ 14)

Transformamos la variable original usando la transformación tipificante. 

                       X₁ ≥ 14  ∴  X₁-12 ≥ 14 -12 ∴  (X₁-12)/1 ≥ (14 -12)/1 

                                                           (X₁-12)/1 ≥ 2

Buscamos en tabla de distribución normal ( ver figura) y tenemos que Z = 0.022.

                                                           P (E₁) = 2.2%

b) Error de segunda especie: Se define cuando se toma valida la hipótesis 2 pero en realidad es verdadera la hipótesis 1. Tenemos:

                                              P (E₂) = P(Rech H₁| H₁ cierta)
                                                         = P(ξ ≥ 14| Ф = 15)
                                                         = P (N ( 15 , 5/√25) ≤ 14)

Transformamos la variable original usando la transformación tipificante. 

                          X₂ ≤ 14  ∴  X₂-15 ≤ 14 -15 ∴  (X₂-15)/1 ≤ (14 -15)/1 

                                                           (X₂-15)/1 ≤ -1

Buscamos en tabla de distribución normal ( ver figura) y tenemos que Z = 0.15.

                                                                 P (E₂) = 15 %

c)  La potencia del contraste viene definida por: 

                                                     0.022       si Ф=12
                                   β(Ф) = 
                                                     1 - 0.15    si Ф=15

Nota: La tabla usadas son de distribución normal.