Question

En una PG se conoce que:t1=12;tn=972;Sn=1452.calcula n

Answer 1

Solución: para la PG donde t1=12, tn= 972, Sn= 1452; entonces n= 5

Explicación paso a paso:

Progresión geométrica: es una sucesión de números reales, que comienza en un número t1 y el siguiente elemento se determina multiplicando t1 por una razón, por lo tanto el elemento tn de una progresión geométrica es:

1. $tn=t1*r^{n-1}$

Suma de una progresión geometrica: el termino sn de una progresión geométrica consiste en sumar los primeros n términos de la misma, es decir:

$Sn= t1+t2+...+tn = t1+t1*r+t1*r^{2}+...+t1*r^{n-1}$

2. $Sn= t1*(1+r+r^{2} +...+r^{n-1} )$

Ahora sanemos que t1= 12, tn= 972, Sn= 1452. Sustituimos en la primera ecuación.

$972=12*r^{n-1}$

⇒ $\frac{972}{12} = r^{n-1}$

⇒  $81 = r^{n-1}$

⇒$r= \sqrt[n-1]{81}$

Sustituyendo en la ecuación 2:

$1452=12*(1+(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+(\sqrt[n-1]{81})^{n-1} )$

$\frac{1452}{12} =(1+(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+(\sqrt[n-1]{81})^{n-1} )$

$121 =(1+(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+(\sqrt[n-1]{81})^{n-1} )$

$121-1 =(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+81$

$120-81 =(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+(\sqrt[n-1]{81})^{n-2}$

$120-81 =(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+(\sqrt[n-1]{81})^{n-2}$

$39 =(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+(\sqrt[n-1]{81})^{n-2}$

Como la suma no es alta podemos probar para varios n, y sabemos que los no serán muchas pruebas. Como tenemos una raiz de n-1  entonces n tiene que ser mayor que 1 además es como la sucesion es hsta n-2 debe ser mayor que 2.

Si probarmos con n=3

$(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+(\sqrt[n-1]{81})^{n-2}= \sqrt[2]{81}= 9$

Si probamos con n=4

$(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+(\sqrt[n-1]{81})^{n-2}= \sqrt[3]{81}+(\sqrt[3]{81})^{2}= 23.04$

Si probamos con n=5

$(\sqrt[n-1]{81})+(\sqrt[n-1]{81})^{2} +...+(\sqrt[n-1]{81})^{n-2}= \sqrt[4]{81}+(\sqrt[4]{81})^{2}+(\sqrt[4]{81})^{3}= 39$

Por lo tanto n=5.