Question

En una parcela de forma rectangular que hace 56
metros de perímetro se construye un jardín, también
rectangular, rodeado por un camino de 2 metros de
ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo
que el jardín tiene 96 m2 de superficie
NECESITO EL PROCEDIMIENTO PORFAVOR, DOY MEJOR RESPUESTA Y 15
PUNTOS!!!!​

Answer 1

Las dimensiones de la parcela rectangular son de 16 metros de longitud y de 12 metros de ancho

Procedimiento:

Llamaremos variable "x" a la longitud de la parcela y variable "y" a su ancho

Sabemos que en esa parcela se encuentra un jardín que está rodeado por un camino de 2 metros de ancho - el cual encierra toda el área del jardín-

De la parcela que es rectangular conocemos su perímetro

Y sabemos que el perímetro de una figura equivale a la suma de todos su lados, y en el caso de un rectángulo como este tiene sus lados iguales dos a dos, su perímetro equivale al doble de la suma de sus lados contiguos

Expresamos la fórmula del perímetro de un rectángulo

$\boxed{\bold {Per\'imetro \ rect\'angulo = 2 \ . \ (Largo + Ancho )}}$

ó

$\boxed{\bold {Per\'imetro \ rect\'angulo = 2 \ .\ Largo + 2 \ .\ Ancho }}$

Como llamamos variable "x" a la longitud de la parcela y variable "y" a su ancho

Con la fórmula del perímetro del rectángulo obtendremos la primera ecuación para resolver el ejercicio

Reemplazando,

$\boxed{\bold { 2 x + 2y = 56}}$

Ahora vamos a plantear la segunda ecuación, en donde por la existencia del camino de 2 metros de ancho que bordea al jardín podemos decir que

Si la longitud de la parcela es igual a x, la longitud del jardín será   ⇒ x - 4

Si el ancho de la parcela es igual a y, el ancho del jardín será         ⇒  = y - 4

En donde el área del jardín rectangular es igual a 96 m²

Plantearemos la segunda ecuación por medio de la fórmula del área de un rectángulo al ser el jardín también rectangular.

$\boxed { \bold {\'Area \ rect\'angulo = Largo \ . \ Ancho }}$

Y tendremos la segunda ecuación

$\boxed { \bold {(x - 4) \ .\ (y -4) = 96 }}$

 

Nota:  El planteo del ejercicio se puede observar en el gráfico adjunto

Tenemos ahora un sistema de ecuaciones

$\boxed{\bold { 2 x + 2y = 56}}$

$\boxed { \bold {(x - 4) \ .\ (y -4) = 96 }}$

Donde en la primera ecuación dividiremos todos sus términos entre dos para simplificarla, obteniendo:

$\boxed{\bold { x + y = 28}}$

Nuestro sistema de ecuaciones nos queda finalmente de este modo

$\boxed{\bold { x + y = 28}}$

$\boxed { \bold {(x - 4) \ .\ (y -4) = 96 }}$

Resolveremos por el método de sustitución

Despejamos el valor de y en la primera ecuación

$\boxed{\bold { x + y = 28}}$

$\boxed{\bold { y = 28 -x}}$

Tomamos la segunda ecuación y sustituimos el valor de y

$\boxed { \bold {(x - 4) \ .\ (y -4) = 96 }}$

$\boxed { \bold {(x - 4) \ .\ (28-x -4) = 96 }}$

$\boxed { \bold {(x - 4) \ .\ (24 -x) = 96 }}$

$\boxed {\bold{ 24x - x^{2} -96 + 4x = 96}}$

$\boxed {\bold{ - x^{2} +28x -96 -96 = 0}}$

$\boxed {\bold{ - x^{2} +28x -192 = 0}}$

Tenemos una ecuación cuadrática en donde

a = -1, b = 28 y c = -192

Emplearemos la fórmula cuadrática para resolver para x

$\boxed{\bold {\frac{ -b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac } }{2a} }}$

$\boxed {\bold { x=\frac{ -28 \pm \sqrt{ 28^{2} -4\ .(-1\ . -192) } }{2 \ . -1 } }}$

$\boxed{\bold {x=\frac{ -28 \pm \sqrt{ 784 -4\ . 192 } }{ -2 } }}$

$\boxed{\bold {x=\frac{ -28 \pm \sqrt{ 784 - 768 } }{ -2 } }}$

$\boxed{\bold {x=\frac{ -28 \pm \sqrt{ 16 } }{ -2 } }}$

$\boxed{\bold {x=\frac{ -28 \pm \sqrt{ 4^{2} } }{ -2 } }}$

$\boxed{\bold {x=\frac{ -28 \pm 4 }{ -2 } }}$

$\boxed{\bold {x= 14 \pm 2 }}$

$\boxed{\bold {x_{1} = 16 }}$

$\boxed{\bold {x_{2} = 12 }}$

Reemplazamos el valor de x en la primera ecuación

$\boxed{\bold { x + y = 28}}$

$\boxed{\bold { y = 28 -x}}$

Si x = 16,

$\boxed{\bold { y = 28 -16}}$

$\boxed{\bold { y = 12}}$

Si x = 12

$\boxed{\bold { y = 28 -12}}$

$\boxed{\bold { y =16}}$