Question

En una P.G. se conoce: a1 = 1/2 ; a3 = 1; an = 256.
Hallar el número de términos.

Answer 1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS (PG) Ejercicios

En este tipo de progresiones debemos saber que cada término se obtiene de multiplicar el término anterior por un nº invariable llamado razón "r".

De ese modo se pude establecer que el segundo término a₂ de la PG se obtiene con la operación:  $a_2=a_1*r$

Y por el mismo procedimiento obtengo el tercer término  a₃ de esta PG con la operación:  $a_3\ =\ a_2*r\ =\ a_1*r*r\ =\ a_1*r^2\ =\ 1$

De ahí despejo  r²  sustituyendo  a₁  por su valor y tengo esto:

$1=\dfrac{1}{2} *r^2\\ \\ \\ r^2=2\\ \\ r=\sqrt{2}$

Con esto he conseguido saber la razón.

Ahora usaré el dato de  aₙ  que me dice que el último término cuyo número de orden en la PG es "n" y que es justo lo que me pide el ejercicio calcular, tiene un valor de 256, o sea  aₙ = 256  y acudo a la fórmula general de este tipo de progresiones que dice:

$a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyo los valores conocidos y desarrollo la ecuación teniendo en cuenta esta potencia:  2⁹ = 512

$256=\dfrac{1}{2} *(\sqrt{2}) ^{n-1}\\ \\ \\ 512=(\sqrt{2}) ^{n-1}\\ \\ \\ 512=\dfrac{\sqrt{2}^n }{\sqrt{2}^1} \\ \\ \\ \ ...\ sustituyo\ por\ la\ potencia\ y\ paso\ radicales\ a\ potencias\ fraccionarias\\ \\ 2^9*2^{1/2} =2^{n/2} \\ \\ 2^{19/2} =2^{n/2}\\ \\ \dfrac{19}{2}=\dfrac{n}{2} \\ \\ \\ n=19$

Concluyo que esta PG tiene 19 términos.

Saludos.