En una P. A. La suma del primer y segundo término es 22; la suma del cuarto y quinto término es 58. Calcule el tercer
término.
Respuestas a la pregunta
P.A. es una Progresión Aritmética.
Si esta respuesta te parece larga, imagina lo que me puede haber costado de tiempo prepararla de manera lo más comprensible posible y si realmente te interesa conocer el tema de las progresiones aritméticas, sería bueno que te tomaras el tiempo de analizarla y si algo no entiendes puedes consultármelo abajo en el campo de Comentario.
Para entender el procedimiento hay que tener claros varios conceptos que definen este tipo de progresiones así que vamos a recordarlos.
Una PA es una sucesión de números llamados "términos" relacionados entre ellos porque el valor de cualquier término se obtiene sumando una cantidad invariable al término anterior y esa cantidad que añadimos es lo que se conoce como diferencia "d".
Según eso, si tenemos un primer término que llamo "a₁" y le añado la diferencia "d", obtengo un segundo término que llamo "a₂", es decir que la expresión sería así:
- a₂ = a₁ + d
Si al término a₂ le añado la diferencia "d", obtengo el tercer término a₃ y se expresa así:
a₃ = a₂ + d ... y si sustituyo "a₂" por la expresión anterior, tengo esto:
a₃ = (a₁ + d) + d ... que reducido me queda ...
- a₃ = a₁ + 2d
Y así podría ir representando todos los términos sucesivos...
- a₄ = a₁ + 3d
- a₅ = a₁ + 4d
... etc ...
Comprender eso es imprescindible para entender la resolución de este ejercicio y voy con ello:
Nos dice esto:
a₁ + a₂ = 22
a₄ + a₅ = 58
Pero según lo explicado puedo decir esto:
- 1ª expresión .- a₂ = a₁ + d
- 2ª expresión .- a₄ = a₁ + 3d
- 3ª expresión .- a₅ = a₁ + 4d
Sustituyo a₂ de la primera expresión en la 1ª ecuación del ejercicio (a₁+a₂=22) :
a₁ + (a₁ + d) = 22 ... de donde reduciendo términos semejantes ...
2a₁ + d = 22 y con esta tengo la primera ecuación del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que voy a construir.
Sustituyo a₄ y a₅ de la 2ª y 3ª expresión en la 2ª ecuación del ejercicio (a₄+a₅=58) :
(a₁ + 3d) + (a₁ + 4d) = 58 ... reduciendo términos semejantes ...
2a₁ + 7d = 58 y con esta tengo la segunda ecuación de ese sistema.
Las anoto ahora y resuelvo por el método de reducción para hallar el valor de a₁ :
- 2a₁ + d = 22
- 2a₁ + 7d = 58
Multiplico la primera por (-7) para eliminar la incógnita "d" ...
-14a₁ -7d = -154
+ 2a₁ + 7d = 58
-12a₁ = -96 ... despejo a₁
a₁ = (-96) / (-12) = 8
Ya tenemos el valor del primer término a₁ = 8
Lo sustituyo en la primera ecuación del ejercicio (a₁ + a₂ = 22) para saber el valor del término a₂ ...
8 + a₂ = 22
a₂ = 22 - 8 = 14
Y ya tenemos el valor del segundo término a₂ = 14
Con esos dos términos ya podemos saber la diferencia "d" entre términos consecutivos:
d = a₂ - a₁ = 14 - 8 = 6
Por lo tanto, el valor del tercer término ...
a₃ = 14 + 6 = 20