Question

en una P.A cinco terminos consecutivos son tales que la suma de los medios aritmeticos es 33 y el producto de sus terminos extremos es 57 el termino que ocupa el lugar de esta P.A decreciente es:

a)423 b)-423 c)-377 d)337 e)415

Answer 1

Los términos de la progresión P.A. bajo la condición de la suma de sus medios y producto de sus extremos y de forma decreciente son:  3, -1, -5, -9, -13

Importante: El problema no indica que término es el que se debe encontrar. Por lo que encontraremos los 5 mencionados, y el n-esimo puedes encontrarlo con la fórmula:

                $x_{n}=x_{1}+(n-1)d$

Tenemos la P.A:

$x_{1}, x_{2}, x_{3},x_{4},x_{5}$

Donde:

$x_{1}.x_{5}=57\\\\x_{2}+x_{3}+x_{4}=33$

Expresamos todo en función de $x_{1}$ para la suma de medios.

$x_{2}+x_{3}+x_{4}=33\\\\x_{1}-d+x_{1}-2d + x_{1}-3d=33\\\\3x_{1}-6d=33\\\\x_{1} - 2d = 11\\\\\\2d=x_{1}-11 ...(1)$

Y luego hacemos lo propio para el producto de extremos

$x_{1}.x_{5}=57\\\\x_{1}.(x_{1}-4d)=57$

Reemplazamos 4d por:

$x_{1}.(x_{1}-4d)=57\\\\x_{1}.(x_{1}-2(x_{1}-11))=57\\\\x_{1}.(x_{1}-2x_{1}+22)=57\\\\x_{1}.(22-x_{1})=57\\\\x_{1}.(22-x_{1})=3(22-3)$

Por lo tanto $x_{1}=3$

Encontramos d:

$2d=x_{1}-11\\\\2d= 3-11\\\\2d = -8\\\\d= - 4$

Los términos de la sucesión serían:

3, -1, -5, -9, -13