Question

En una noche estrellada a las 2 am. un vigilante vislumbro un objeto extraño en el cielo le sorprendió tanto que recuerda levantar su mirada a 30°para ver el objeto extraño, cuando contó lo sucedido otro de sus compañeros vigilantes comento igual ver ese objeto en el cielo, con la diferencia que el levanto la mirada a 70°. Si los guardias están en diferentes sucursales a una distancia de 800 m. Determina a que altura estaba ese objeto volador no identificado.

Answer 1

EL OVNI se encontraba a 381.83 metros de altura

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Solución

Se representa la situación en un triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos vigilantes que se hallan en diferentes sucursales. Y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas distancias desde cada uno de los guardias hasta el vértice C donde se encontraba el OVNI.

Donde se pide hallar a que altura se encontraba el OVNI

Para facilitar la resolución del problema podemos hallar cualquiera de las dos distancias desde cada uno de los guardias hasta el vértice C donde se hallaba el OVNI, dado que conocemos la longitud de separación entre los dos vigilantes y los ángulos que esta medida forma en cada extremo donde se hallan los guardias con respecto a sus respectivas distancias hasta donde se hallaba el OVNI

Teniendo para el vigilante ubicado a la izquierda un ángulo de 30°, y para el vigilante que se ubica a la derecha un ángulo de 70°, donde denotaremos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Dado que la altura a la que se hallaba el OVNI -que es nuestra incógnita- secciona al triángulo acutángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos de 30° y de 70° respectivamente

Por tanto si hallamos empleando la ley del seno cualquiera de las dos distancias desde cada uno de los vigilantes hasta el vértice C - donde se encontraba el OVNI-  habremos hallado las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura es el mismo para ambos triángulos

Por lo tanto basta con hallar la distancia desde uno de los guardias -hipotenusa de un triángulo rectángulo- hasta el vértice donde se encontraba el OVNI para hallar luego la altura empleando la razón trigonométrica seno

Luego podemos determinar nuestra incógnita de dos maneras posibles donde arribaremos al mismo resultado  

Donde antes debemos hallar el valor del tercer ángulo del triángulo acutángulo

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 30^o+ 70^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 30^o- 70^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 80^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 80°

Alternativa 1

Hallamos la distancia desde el vigilante en A hasta el OVNI -lado AC (b) -

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(70 )^o } = \frac{ 800 \ m }{sen(80)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 800 \ m \ . \ sen(70 )^o }{sen(80)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 800\ m \ . \ 0.9396926207859}{ 0.9848077530122 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 751.75409662872 }{ 0.9848077530122 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 763.35 \ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en ADC para determinar la altura del OVNI

$\boxed { \bold { sen(30)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(30)^o = \frac{altura \ OVNI }{distancia\ b } }}$

$\boxed { \bold {altura \ OVNI= distancia \ b \ . \ sen(30)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ OVNI = 763.35\ m \ . \ sen(30)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ OVNI= 763.35\ m \ . \ \frac{1}{2} }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ OVNI= 381.68 \ metros }}$

Alternativa 2

Hallamos la distancia desde el vigilante en B hasta el OVNI -lado BC (a) -

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(30 )^o } = \frac{ 800 \ m }{sen(80)^o } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 800 \ m \ . \ sen(30 )^o }{sen(80)^o } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 800\ m \ . \ \frac{1}{2} }{ 0.9848077530122 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 400 }{ 0.9848077530122 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 406.17\ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en BDC para determinar la altura del OVNI

$\boxed { \bold { sen(70)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(70)^o = \frac{altura \ OVNI }{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ OVNI= distancia \ a \ . \ sen(70)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ OVNI = 406.17\ m \ . \ sen(70)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ OVNI= 406.17\ m \ . \ 0.9396926207859 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ OVNI= 381.68 \ metros }}$

Concluyendo que conocida el valor de una hipotenusa de cualquiera de los triángulos rectángulos que se conforman, basta con hallar la altura en uno de ellos para determinar la altura del OVNI