Question

En una liga de futbol hay 10 equipos en un torneo en el que cada equipo juega una sola vez contra cada uno de los otros equipos. En cada juego al ganador se le dan 3 puntos si empatan se le da un punto a cada equipo y se le dan cero puntos al que perdio. El total de puntos otorgados a todos los equipos fue de 130 puntos ¿Cuantos juegos terminaron en empate?

Answer 1

Lo primero que vamos a averiguar es el nº de partidos que se ha disputado.
nº de partidos disputados=nº de parejas que se puede hacer con 10 equipos.

Por tanto el nº de partidos disputados serían combinaciones (ya que no importa el orden, el partido entre el equipo 1 y el equipo 2, es el mismo partido jugado entre el equipo 2 y el equipo 1) de 10 elementos, tomados  de 2 en 2.

nº de partidos disputados=C10,2=10! / 2!.(10-2)!=10.9.8! / (2!.8!)=45.

En un partido donde se produce un empate, el nº total de puntos obtenidos es 2, 1 por cada equipo, y en un partido donde uno gana y otro pierde el nº total de puntos obtenidos es 3.

Sea:
x=nº de partidos que terminaros en empate.
y=nº de partidos que no terminaron en empate.
Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:

x+y=45              ⇒x=45-y
2x+3y=130

Resolvemos el sistema por sustitución:
2.(45-y)+3y=130
90-2y+3y=130
y=130-90
y=40

Despejamos ahora "x";
x=45-y
x=45-40=5

Sol:el nº de juegos que terminaron en empate fue 5.