Question

En una institución escolar, de un grupo de 10 estudiantes conformado por 6 hombres y 4 mujeres, se van a elegir por votación:
- 1 personero
- 1 representante al consejo directivo
- 3 representantes al consejo estudiantil

(para ocupar los cargos de presidente, secretario y tesorero)

La probabilidad de que los estudiantes elegidos sean 2 hombres y 3 mujeres es igual
a la probabilidad de que los elegidos sean

A. 4 hombres y 1 mujer.
B. 1 hombre y 4 mujeres.
C. 3 hombres y 2 mujeres.
D. 5 hombres y ninguna mujer.


#Saber 11

Answer 1

La probabilidad de 2 hombres y dos mujeres es la misma que la de 4 hombres y 1 mujer. Opción A

Explicación:

Combinaciones: son las diferentes formas o maneras de seleccionar los elementos de un conjunto, sin importar el orden de los elementos entre si

Cn,m = n!/m!(n-m)!

Probabilidad = Numero de sucesos favorables / Numero de sucesos posibles

Como los suceso posibles serán los mismos debemos buscar en que combinación los sucesos favorables son iguales

P(HHMMM) = C(6,2)* C(4,3) = 6*5/2 * 4 = 60 formas

P(HHHHM) = C(6,4) *C(4,1) = 6*5/2 * 4 = 60 formas

P(HMMMM) = C(6,1) * C(4,4) = 6 *1 = 6 formas

P(HHHMM) = C(6,3) * C(4,2) = 6*5*4/6 * 4*3/2 = 120 formas

P(HHHHH) = C(6,5)* C(4,0) = 6* 1 = 6

La probabilidad de 2 hombres y dos mujeres es la misma que la de 4 hombres y 1 mujer.

Answer 2

La probabilidad de que los estudiantes elegidos sean 2  hombres y  3  mujeres es igual a la probabilidad de que los elegidos sean  4  hombres y  1  mujer. La opción correcta es la marcada con la letra  A.

¿Qué es una combinación?

Una combinación es un arreglo de los  n  elementos de un conjunto en grupos de  m  elementos, sin importar el orden de selección de estos elementos.

En el caso del grupo de personas a elegir, se usa la combinación porque no se hace énfasis en el orden de la selección.

¿Cómo se calcula la combinación?

Nos apoyamos en el número combinatorio:

$\bold{(\begin{array}{c}n\\m\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~m)!m!}}$

donde

• n    es el total de objetos a arreglar
• m   es el número o tamaño de las agrupaciones en que se van a realizar los arreglos

¿Qué es el triángulo de Pascal?

El triángulo de Pascal es una agrupación de números apilada en forma triangular que abrevia, en la práctica, la solución de los coeficientes del binomio de Newton.

La suma de los coeficientes en cada fila del triángulo es la potencia de 2 que corresponde a la potencia del binomio de Newton y que coincide con la fila del triángulo, considerando como la fila cero el ápice del triángulo formado por un solo número, el número uno.

Probabilidad de que los estudiantes elegidos sean 2 hombres y 3 mujeres

El número de formas posibles que ocurra el evento de interés es el producto de las combinaciones de dos hombres y tres mujeres. El número de resultados posibles del espacio muestral es el número combinatorio que reporta cuantas agrupaciones de cinco personas podemos formar con las diez disponibles.

Nos apoyaremos en el triángulo de Pascal para resolver con mayor facilidad

Totales: queremos hallar el número de arreglos posibles de  10  personas tomadas de  5  en  5

n  =  10                m  =  5

$\bold{(\begin{array}{c}10\\5\end{array})~=~252}$

Hombres: queremos hallar el número de arreglos posibles de  6  hombres tomados de  2  en  2

n  =  6                m  =  2

$\bold{(\begin{array}{c}6\\2\end{array})~=~15}$

Mujeres: queremos hallar el número de arreglos posibles de  4  mujeres tomadas de  3  en  3

n  =  4                m  =  3

$\bold{(\begin{array}{c}4\\3\end{array})~=~4}$

Probabilidad de 2 hombres y 3 mujeres

$\bold{P(2H y 3M)~=~\dfrac{(\begin{array}{c}6\\2\end{array})\cdot(\begin{array}{c}4\\3\end{array})}{(\begin{array}{c}10\\5\end{array})}~=~\dfrac{(15)\cdot(4)}{(252)}~=~\dfrac{5}{21}}$

La probabilidad de que los estudiantes elegidos sean 2 hombres y 3 mujeres es igual a  5/21.  Para hallar una probabilidad similar en otra combinación, consultamos el triángulo de Pascal y ubicamos en las filas correspondientes a  4  y  6  resultados iguales a los logrados previamente

Hombres (fila del  6):  el resultado del número combinatorio es  15,  esto sucede cuando se toman de  2  en  2  y  de  4  en  4.

Mujeres (fila del  4):  el resultado del número combinatorio es  4,  esto sucede cuando se toman de  1  en  1  y  de  3  en  3.

La probabilidad de que los estudiantes elegidos sean  2  hombres y  3  mujeres es igual a la probabilidad de que los elegidos sean  4  hombres y  1  mujer. La opción correcta es la marcada con la letra  A.

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