Question

En una granja se crían vacas y gallinas; en total son 110 animales. Contando el número de patas, se tiene un resultado final de 280. ¿Cuántas vacas y gallinas hay en esa granja?​

Answer 1

En la granja se tienen 30 vacas y 80 gallinas

 

Solución

Llamamos variable "x" la la cantidad de vacas y variable "y" a la cantidad de gallinas  

Donde sabemos que

El total de animales en la granja es de 110

Donde el total de patas es de 280

Teniendo una vaca 4 patas

Teniendo una gallina 2 patas

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de vacas y de gallinas para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad total de animales en la granja

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 110 }}$              $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego como una vaca tiene 4 patas y una gallina tiene 2 patas planteamos la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad de patas que hay en total en la granja

$\large\boxed {\bold {4x \ + \ 2y =280 }}$        $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

$\large\boxed {\bold {x =110 -y }}$                 $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {x =110 -y }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {4x \ + \ 2y =280 }}$

$\boxed {\bold {4(110-y) \ + \ 2y = 280}}$

$\boxed {\bold {440\ - 4y \ + \ 2y = 280 }}$

$\boxed {\bold {440\ - \ 2y = 280 }}$

$\boxed {\bold { -2y = 280\ -\ 440 }}$

$\boxed {\bold { -2y = -160 }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{-160}{-2} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 80 }}$

La cantidad de gallinas en la granja es de 80

Hallamos la cantidad de vacas

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {x =110 -y }}$

$\boxed {\bold {x =110 -80}}$

$\large\boxed {\bold {x =30 }}$

La cantidad de vacas en la granja es de 30

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {x \ +\ y = 110 \ animales}}$

$\boxed {\bold {30 \ vacas \ +\ 80\ gallinas = 110 \ animales }}$

$\boxed {\bold {110 \ animales =110 \ animales }}$

$\textsf{ Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {4x \ + \ 2y = 280 }}$

$\boxed {\bold {4 \ patas \ . \ 30 \ vacas \ +\ 2 \ patas \ . \ 80 \ gallinas = 280 \ patas}}$

$\boxed {\bold {120 \ patas + \ 160\ patas = 280 \ patas }}$

$\boxed {\bold { 280 \ patas =280 \ patas }}$

$\textsf{ Se cumple la igualdad }$