Question

en una granja hay en total 220 ojos y 350 patas entre las vacas y gallinas, ¿qué cantidad de vacas y gallinas que hay en la granja?
con el método de polya

Answer 1

En la granja hay 65 vacas y 45 gallinas

Solución

Método de Polya

Primer Paso:

Entender el problema

Determinar la cantidad de vacas y gallinas que hay en la granja

Segundo Paso:

Analizamos los datos que tenemos para establecer un plan

Se tienen un total de 220 ojos y 350 patas entre las vacas y las gallinas

Tercer Paso:

Establecemos la estrategia / plan para resolver el problema

Analizamos los datos y se tiene que:

El total de ojos en la granja es de 220

Sabiendo que los dos tipos de animales tienen ambos 2 ojos

Donde el total de patas es de 350

Teniendo una vaca 4 patas

Teniendo una gallina 2 patas

Establecemos un sistema de ecuaciones para la resolución del problema

Llamamos variable "x" la la cantidad de vacas y variable "y" a la cantidad de gallinas en la granja

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de vacas y de gallinas para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad total de ojos en la granja. Considerando que los dos tipos de animales tienen ambos 2 ojos

$\large\boxed {\bold {2x \ +\ 2y = 220 }}$             $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego como una vaca tiene 4 patas y una gallina tiene 2 patas planteamos la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad de patas que hay en total en la granja

$\large\boxed {\bold {4x \ + \ 2y = 350 }}$           $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

$\large\boxed {\bold {2x \ +\ 2y = 220 }}$

$\textsf{Simplificamos dividiendo cada t\'ermino entre dos }$

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 110 }}$

$\large\boxed {\bold {y =110 -x }}$               $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {y =110 -x }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {4x \ + \ 2y = 350 }}$

$\boxed {\bold {4x \ + \ 2\ (110-x) = 350 }}$

$\boxed {\bold {4x\ +220 \ - \ 2x = 350 }}$

$\boxed {\bold {220 \ + \ 2x = 350 }}$

$\boxed {\bold {2x = 350-220 }}$

$\boxed {\bold {2x = 130 }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{130}{2} }}$

$\large\boxed {\bold { x = 65 }}$

La cantidad de vacas en la granja es de 65

Hallamos la cantidad de gallinas

Reemplazando el valor hallado de x en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {y =110 -x }}$              

$\boxed {\bold {y =110 -65 }}$

$\large\boxed {\bold {y =45 }}$

La cantidad de gallinas en la granja es de 45

Cuarto Paso:

Examinamos la solución obtenida

Haciendo una verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {2x \ +\ 2y = 220 \ ojos }}$

$\boxed {\bold {2 \ ojos \ .\ 65\ vacas \ +\ 2 \ ojos \ . \ 45 \ gallinas = 220 \ ojos }}$

$\boxed {\bold {130 \ ojos \ +\ 90 \ ojos = 220 \ ojos }}$

$\boxed {\bold {220 \ ojos = 220 \ ojos }}$

$\textsf{ Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {4x \ + \ 2y = 350 }}$

$\boxed {\bold {4 \ patas \ . \ 65 \ vacas \ +\ 2 \ patas \ . \ 45 \ gallinas = 350 \ patas}}$

$\boxed {\bold {260 \ patas + \ 90 \ patas = 350 \ patas }}$

$\boxed {\bold {350 \ patas = 350 \ patas }}$

$\textsf{ Se cumple la igualdad }$