Question

En una granja entre gallinas y vacas se cuentan 130 patas y 45 cabezas. ¿Cuántas vacas hay en la granja? Respuesta: 20 vacas ​

Answer 1

En la granja se tienen 25 gallinas y 20 vacas

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Llamamos variable "x" la la cantidad de gallinas y variable "y" a la cantidad de vacas

Donde sabemos que

El total de cabezas que hay en la granja es de 45

Donde el total de patas es de 130

Teniendo una gallina 2 patas

Teniendo una vaca 4 patas

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de gallinas y de vacas para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de cabezas que hay en total en la granja

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 45 }}$                   $\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

Luego como una gallina tiene 2 patas y una vaca tiene 4 patas planteamos la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad de patas que hay en total en la granja

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 4y = 130 }}$            $\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

Luego

Despejamos x en la primera ecuación

En

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 45 }}$                  $\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

Despejamos x

$\large\boxed {\bold {x =45 -y }}$                

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold {x =45 -y }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2}$

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 4y = 130 }}$

$\boxed {\bold {2(45-y) \ + \ 4y = 130 }}$

$\boxed {\bold {90 \ -\ 2y\ +\ 4y = 130 }}$

$\boxed {\bold {4y -\ 2y\ +90 = 130 }}$

$\boxed {\bold {2y \ + \ 90 = 130 }}$

$\boxed {\bold {2y = 130 -90 }}$

$\boxed {\bold { 2y = 40 }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{40}{2} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 20 }}$

Luego en la granja se tienen 20 vacas

Hallamos la cantidad de gallinas

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3}$

$\large\boxed {\bold {x =45 -y }}$

$\boxed {\bold {x =45 -20 }}$

$\large\boxed {\bold {x =25 }}$

Por lo tanto en la granja hay 25 gallinas

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1}$

$\boxed {\bold {x \ +\ y = 45}}$

$\bold {25 \ gallinas \ +\ 20\ vacas = 45 \ cabezas }$

$\boxed {\bold {45 \ cabezas = 45 \ cabezas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2}$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 4y = 130 }}$

$\bold { 2 \ patas \ . \ 25 \ gallinas \ + 4 \ patas \ . \ 20 \ vacas = 130 \ patas}$

$\bold {50 \ patas + \ 80 \ patas =130 \ patas }$

$\boxed {\bold {130 \ patas = 130 \ patas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

Answer 2

En la granja hay 20 vacas.

 

Resolución de problema con sistema de ecuaciones

⭐Para obtener el precio de cada artículo se puede recurrir a un sistema de ecuaciones, donde:

• v: cantidad de vacas
• g: cantidad de gallinas

 

Para resolver por sustitución hay que despejar una variable de una ecuación para sustituir la expresión obtenida en la otra.

 

Hay un total de 130 patas, cada vaca tiene 4 y cada gallina 2:

• $\boxed{\bf 4v + 2g = 130}$ (i)

Hay 45 cabezas (cantidad de animales):

• $\boxed{\bf v + g = 45}$ (ii)

Despejando g de ii:

• $\boxed{\bf g = 45 - v}$ (iii)

Sustituyendo iii en ii:

4v + 2 · (45 - v) = 130

• Propiedad distributiva

4v + 90 - 2v = 130

2v = 130 - 90

2v = 40

v = 40/2

$\boxed{\bf v = 20 \ vacas}$ ✔️

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