Question

en una funcion por cada 5 hombres que entran ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres ingresan 8 niñas. si en total ingresan 572 niños y el numero de hombres es al de mujeres como 7 a 4. cuantos hombres asistieron a la funcion?

Answer 1

$\text{hombres }:h \\ \text{mujeres }:m \\ \text{ni\~nos }: n_h \\ \text{ni\~nas }: n_m$

$\text{Pr cada 5 hombres que entran ingresan 6 ni\~nos } \\[4pt] \dfrac{h}{n_h}=\dfrac{5}{6} \ \Rightarrow \ h=\dfrac{5}{6}\,n_h \ ... \ (i)$

$\text{Por cada 3 mujeres que entran ingresan 8 ni\~nas} \\[4pt] \dfrac{m}{n_m}=\dfrac{3}{8} \ \Rightarrow \ m=\dfrac{3}{8}\,n_m \ ... \ (ii)$

$\text{N\'umero de hombres es al de mujeres como 7 es a 4 } \\[4pt] \dfrac{h}{m}=\dfrac{7}{4} \ ... \ (iii)$

$\text{Reemplazando }(i) \text{ y }(ii) \text{ en }(iii) \\[8pt] \dfrac{\frac{5}{6}n_h}{\frac{3}{8}n_m}=\dfrac{7}{4} \ \Rightarrow \ \dfrac{(5)(8)n_h}{(6)(3)n_m}=\dfrac{7}{4} \ \Rightarrow \ \dfrac{n_h}{n_m}=\dfrac{7\cdot 6\cdot 3}{4 \cdot 5 \cdot 8}=\dfrac{63}{80} \\[8pt] \Rightarrow \ n_h=63k \ , \ n_m=80k \\[4pt]$

$\text{Como el total de ni\~nos es 572 , entonces :} \\[4pt] n_h+n_m=572 \\[2pt] 63k+80k=572 \\[2pt] 143k=572 \ \Rightarrow \ k=\dfrac{572}{143}=4 \\[8pt] \rightarrow \ \text{ni\~nos : }\ n_h=63k=(63)(4)=252 \\[4pt] \rightarrow \ \text{ni\~nas : }\ n_m=80k=(80)(4)=320 \\[4pt]$

$\text{Piden el n\'umero de hombres , de la ecuaci\'on }(i) \\[6pt] h=\dfrac{5}{6}\,n_h \ \Rightarrow \ h=\dfrac{5}{6}\,(252)=\dfrac{(5)(252)}{6}=210\\[10pt] \boxed{\text{n\'umero de hombres : }h=210} \ \ \leftarrow \ Respuesta.$