Question

En una función de teatro se recaudan 5200 €, vendiéndose 200 entradas de tres precios distintos: 30€, 25€ y 10€. Sabiendo que el número de localidades más económicas suponen un 25% del número de localidades de 25€, calcula el número de localidades de cada tipo.

Answer 1

SEA:
X: Las localidades de 30€.
Y: Las localidades de 25€.
Z: Las localidades de 10€.
RESOLVIENDO:

El valor recaudado por la venta de las distintas localidades es 5200€.

$30X+25Y+10Z=5200\quad\to\ Simplificamos\\ \\ \dfrac{30X+25Y+10Z=5200}{5}\\ \\6X+5Y+2Z=1040\quad\Longrightarrow\boxed{ \textbf{Ecuaci\'on\ 1}}$

En total fueron vendidas 200 entradas.

$X+Y+Z=200\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Ecuaci\'on\ 2}}$

Si el número de localidades más económica ("Z"), es el 25% de las localidades de 25€ (osea "Y"), en consecuencia, Z será igual a la cuarta parte de Y, entonces:

$Z= \dfrac{Y}{4}\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Ecuaci\'on\ 3}}$

Reemplazamos la ecuación 3 en la ecuación 1:

$6X+5Y+2\left( \dfrac{Y}{4}\right)=1040\\ \\ \\4(6X)+4(5Y)+2(Y)=4(1040)\\ \\24X+20Y+2Y=4160\\ \\24X+22Y=4160\quad\to\ Simplificamos\\ \\ \dfrac{24X+22Y=4160}{2}\\ \\12X+11Y=2080\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Ecuaci\'on\ 4}}$

Reemplazamos la ecuación 3 en la ecuación 2:

$X+Y+ \dfrac{Y}{4}=200\\ \\4(X)+4(Y)+Y=4(200)\\ \\4X+4Y+Y=800\\ \\4X+5Y=800\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Ecuaci\'on\ 5}}$

Despejamos la Y en la ecuación 5 y reemplazamos en la ecuación 4:

$Y= \dfrac{800-4X}{5}\\ \\ \\\textbf{Entonces:}\\ \\12X+11\left( \dfrac{800-4X}{5}\right)=2080\\ \\ \\5(12X)+11(800-4X)=5(2080)\\ \\60X+8800-44X=10400\\ \\16X+8800=10400\\ \\16X=10400-8800\\ \\16X=1600\\ \\X= \dfrac{1600}{16}\\ \\X=100\quad\Longrightarrow\boxed{ \boxed{Las\ localidades\ de\ 30\epsilon\quad\checkmark}}$.

Reemplazamos la X en la ecuación 5:

$4(100)+5Y=800\\ \\400+5Y=800\\ \\5Y=800-400\\ \\5Y=400\\ \\Y= \dfrac{400}{5}\\ \\Y=80\quad\Longrightarrow\boxed{ \boxed{Las\ localidades\ de\ 25\epsilon\quad\checkmark}}$

Reemplazamos la Y en la ecuación 3:

$Z= \dfrac{80}{4}\\ \\Z=20\quad\Longrightarrow\boxed{ \boxed{Las\ localidades\ de\ 10\epsilon\quad\checkmark}}\\ \\ \\\mathbb{RESPUESTA:}$

Hay 100 localidades de 30€.
Hay 80 localidades de 25€.
Hay 20 localidades de 10€.

MUCHA SUERTE...!!

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