Question

En una fiesta, el encargado de servir las bebidas decide armar una pirámide de vasos de tal manera que al llenar por completo el primero, éste comien za a llenar cuatro vasos que están en el piso de abajo y al llenar estos vasos se llenan 9 que a su vez llenan 16, etcétera. Determina el número de vasos que se llenarán para una pirámide de 7 pisos. con fórmula y pasos ​

Answer 1

PROGRESIONES

Esta progresión no puede catalogarse como aritmética ni como geométrica. Más bien sería una progresión de las especiales y concretamente se llama "cuadrática o de 2º orden".

Y es así porque si nos damos cuenta de la diferencia entre términos consecutivos, veremos que dicha diferencia no es fija  (como ocurre en las progresiones aritméticas)  sino que va aumentando 2 unidades en cada paso, es decir:

• Piso 1 ------>  1 vaso
• Piso 2 ------> 4 vasos
• Piso 3 ------> 9 vasos
• Piso 4 ------> 16 vasos
• ... etc...

Fíjate en las diferencias:

• 4 - 1 = 3
• 9 - 4 = 5
• 16 - 9 = 7

Date cuenta que esas diferencias:  3, 5, 7 ... forman una progresión aritmética con diferencia de 2, cierto?

Pues eso es lo que nos da la pista para clasificar este tipo de progresiones que se llaman "cuadráticas o de 2º orden".

Llegar a la fórmula general de esa progresión es laborioso y no puedo entretenerme ahora en ella pero puedo resolverla sin tener que hacer el proceso porque lo que tenemos ahí es una progresión formada por los cuadrados de los números naturales, es decir:

• 1² = 1 vaso en el 1º piso de arriba
• 2² = 4 vasos en el 2º piso
• 3² = 9 vasos en el 3º piso
• 4² = 16 vasos  en el 4º piso
• ... etc...

¿Qué podemos deducir de esa progresión?

Pues que el exponente no varía (siempre es el cuadrado) y la base es la sucesión de números naturales así que el término o fórmula general que nos vale para cualquier valor de la progresión será:

$\boxed{a_n=n^2}$

Y ahora solo hay que sustituir "n" por el número de orden del término que queramos calcular su valor.

Como nos pide el 7º término porque la pirámide es de 7 pisos, lo sustituyo y tengo:

$a_7=7^2=49$

Respuesta:  en el 7º piso habrá 49 vasos

Si quieres saber el procedimiento para calcular el término general de este tipo de progresiones, te invito a otra tarea mía de hace tiempo donde resolví otra del mismo tipo y está aquí:

https://brainly.lat/tarea/4820914