Question

En una fábrica donde se produce el refresco coca-cola, se solicitó la construcción de una lata para
presentar la nueva imagen del producto. La lata debe ser cilíndrica recta de 20 cm de altura y un volumen
de 300 cm. Contesta lo siguiente:
a) ¿Cuál es la longitud que debe tener el radio interior de lata?
b) Si la lata debe tener la misma altura pero un volumen de 400 cm ¿Cuál es la longitud que debe tener
el radio interior de la lata?
c) Escribe la función que represente la variación del volumen de la lata de acuerdo a la medida del radio
inferior.
d) Tabula el radio y rango, para graficar en papel milimétrico.
e) Grafica en geogebra, para verificar tus resultados.​

Answer 1

El radio de la lata para 300 y 400 centímetros cúbicos es de 2,19cm y 2,52 cm respectivamente y la función del volumen en función del radio es $V(r)=62,83(r[cm])^2~~[cm^3]$

Explicación paso a paso:

En esta situación se plantea la expresión del área del cilindro, como nos fijan la altura, la variable independiente es el radio interior:

a) En este caso el radio de la lata es:

$V=\pi.r^2.h\\\\r=\sqrt{\frac{V}{\pi.h}}=\sqrt{\frac{300cm^3}{20cm\pi}}\\\\r=2,19cm$

b) Si la lata tiene la misma altura pero un volumen de 400 centímetros cúbicos, el radio pasa a ser lo siguiente:

$r=\sqrt{\frac{V}{h\pi}}=\sqrt{\frac{400cm^2}{20cm\pi}}\\\\r=2,52cm$

c) La expresión que representa la variación de volumen de la lata según el radio es el mismo volúmen del cilindro de 20cm de altura:

$V(r)=\pi.20cm.(r[cm])^2~~[cm^3]\\\\V(r)=62,83(r[cm])^2~~[cm^3]$

d) Para graficarla en papel milimétrico tenemos que definir una escala de modo que todo el intervalo de interés pueda ser representado. Si por ejemplo queremos que el gráfico ocupe 15cm por 15cm y nos interesa conocer el volumen para radios de hasta 3cm, sabemos que el volumen va a llegar a 565 centímetros cúbicos, entonces tomamos para el eje x, una escala de 5:1 (1 cm del radio representa 5cm de la hoja) y para el eje y tomamos 1:50 (50 centímetros cúbicos son 1cm de la hoja) y con 5 valores podemos hacer un gráfico aceptable:

$V(0)=0\\V(0,75cm)=35,3cm^3\\V(1,5cm)=141cm^3\\V(2,25cm)=318cm^3\\V(3cm)=565cm^3$

De acuerdo a las escalas, los puntos estarán en términos de cuadrículas de la hoja milimétrica (1cm=10mm)  y respecto del origen que tomemos en (0;0), (37,5;7), (75;28), (112,64) y (150,113).

e) El gráfico anterior debería quedar similar al gráfico de la función en la imagen adjunta. La rama negativa no se considera ya que no tiene sentido físico.