en una escuela de 135 alumnos, 90 practican fútbol, 55 básketbol y 75 natación. si 20 alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno, ¿cuántos alumnos practican un deporte y sólo uno?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Son 135 alumnos
90 practican fútbol,
55 practican basquet,
75 practican natación.
Si 10 alumnos no practican ningún deporte...
135 - 10 = 125
Ahora de esos 125 hay 20 alumnos que practican los tres deportes.
125 - 20 = 105
Como ya no están en el conteo los 20 alumnos que practican los tres deportes, tenemos:
70 que practican fútbol, 35 que practican básketball y 55 que practican natación.
70 + 35 + 55 = 160
160 - 105 = 55 (Son los que practican más de un deporte)
105 - 55 = 50 (Son los que practican solo un deporte)
R/ 50 solo practican un deporte.
De los alumnos de la institución educativo tenemos que 50 alumnos practican solo un deporte
Sean los conjuntos:
A: practican Futbol
B: practican básquet
C: practican tenis
|A| = 90
|B| = 55
|C| = 75
|A∩B∩C| = 20
Tenemos que son 135 alumnos y 10 no practican ninguno, entonces 135 - 10 = 125 practican al menos un deporte
|AUBUC| = 125
Luego queremos saber cuales no practican ningun deporte
Solo fútbol: |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C|
Solo básquet: |B| - |A∩B| - |B∩C| + |A∩B∩C|
Solo tenis: |C| - |C∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C|
Entonces solo un deporte es la suma de esto:
|A| + |B| + |C| - 2|A∩B| - 2|A∩C| - 2|B∩C| + 3|A∩B∩C|
= |A| + |B| + |C| + 2(-|A∩B| - |A∩C| - |B∩C|) + 3|A∩B∩C|
Luego tenemos por teoría de conjuntos:
|AUBUC| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
125 = 90 + 55 + 75 - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + 20
125 - 90 - 55 - 75 - 20 = - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C|
-115 = - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C|
Ahora sustituimos en lo que queremos:
|A| + |B| + |C| + 2(-|A∩B| - |A∩C| - |B∩C|) + 3|A∩B∩C| = 90 + 55 + 75 + 2*(-115) + 3*20
= 220 - 230 + 60 = 50
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