Question

En una encuesta a 90 estudiantes de ingeniería se encontró que: 31 estudiantes toman Algebra, 50 toman Física, 40 toman Química, 20 toman Física y Química, 11 toman Algebra y Química, 15 toma Álgebra y Física. 10 no toman ninguna de las tres asignaturas. Determinar la alternativa verdadera: M a. 44 estudiantes toman una sola asignatura. b. 9 estudiantes toman las tres asignaturas, 15 estudiantes toman solo Física, 6 estudiantes toman Algebra y Física. 12
toman Fisica y Algebra, pero no Química.​

Answer 1

La alternativa que es correcta o verdadera respecto a la encuesta de 90 estudiantes de ingeniería es:

Opción a. 44 estudiantes toman una sola asignatura.

¿Qué es la teoría de conjuntos?

La teoría de conjuntos es la representación de las posibles relaciones que existen entre varios conjuntos.

El diagrama de Venn es la representación gráfica de la teoría de conjuntos.

Definir;

• 90 estudiantes de ingeniería
• 31 estudiantes toman Algebra
• 50 toman Física
• 40 toman Química
• 20 toman Física y Química
• 11 toman Algebra y Química
• 15 toma Álgebra y Física
• 10 no toman ninguna de las tres asignaturas

 

¿Cuál alternativa es la verdadera?

Verificar, ver el diagrama de Venn:

• a. 44 estudiantes toman una sola asignatura.

E + D + F = 44

Siendo;

E + A + x + C = 31

D + C + x + B = 40

F + A + x + B = 50

A + x = 15  ⇒ A = 15 - x

B + x = 20  ⇒ B = 20 - x

C + x = 11  ⇒ C = 11 - x

sustituir;

E + 15 - x + x + 11 - x = 31  

E - x = 31 - 26

E = 5 + x

D + 11 - x + x + 20 - x = 40

D - x = 40 - 31

D = 9 + x

F + 15 - x + x + 20 - x = 50

F - x = 50 - 35

F = 15 + x

Si, E + D + F = 44

sustituir;

5 + x + 9 + x + 15 + x = 44

3x = 44 - 29

x = 15/3

x = 5

Sustituir x;

E = 5 + 5

E = 10

D = 9 + x

D = 14

F = 15 + x

F = 20

A = 15 - 5

A = 10

B = 20 - 5

B = 15

C = 11 - 5

C = 6

U = 90 = E + F + D + C+ B+ A + x + ∅

Sustituir;

90 = 10 + 14 + 20 + 6 + 15 + 10+ 5 + 10

90 = 90

Se cumple la afirmación: 44 estudiantes toman una sola asignatura.

Puedes ver un ejercicio de Teoría de conjuntos aquí: https://brainly.lat/tarea/58946098

Answer 2

Hay  44  estudiantes que tomaron una sola asignatura. La afirmación verdadera es la marcada con la letra  a.

¿Cómo se calcula el conjunto unión?

Llamaremos:

• A  =  estudiantes que toman álgebra
• B  =  estudiantes que toman física
• C  =  estudiantes que toman química

El conjunto unión de estos tres conjuntos viene dado por:

A∪B∪C  =  A  +  B  +  C  -  A∩B  -  A∩C  -  B∩C  +  A∩B∩C

De acuerdo con la información suministrada:

• A∪B∪C  =  80
• A  =  31
• B  =  50
• C  =  40
• A∩B  =  15
• A∩C  =  11
• B∩C  =  20

A∩B∩C  =  A∪B∪C  -  (A  +  B  +  C  -  A∩B  -  A∩C  -  B∩C)  =  5

Vamos a estudiar las afirmaciones realizadas para establecer la alternativa verdadera.

a. 44 estudiantes toman una sola asignatura.

El conjunto  A  está formado por los estudiantes que solo tomaron álgebra más los que tomaron álgebra y alguna de las otras materias, entonces:

Solo A  =  A  -  A∩B  -  A∩C  +  A∩B∩C  =  31  -  15  -  11  +  5  =  10

Hay  10  estudiantes que tomaron solamente álgebra.

Observación:  La intersección triple hay que sumarla porque al restar las dos intersecciones dobles se resta dos veces la intersección triple, por lo que hay que sumar una de esas sustraídas.

Procedemos de forma similar con física y química

Solo B  =  B  -  A∩B  -  B∩C  +  A∩B∩C  =  50  -  15  -  20  +  5  =  20

Hay  20  estudiantes que tomaron solamente física.

Solo C  =  C  - A∩C  - B∩C  + A∩B∩C  =  40  -  11  -  20  +  5  =  14

Hay  14  estudiantes que tomaron solamente química.

Sumamos  =  10  +  20  +  14  =  44

44 estudiantes toman una sola asignatura. Esta afirmación es VERDADERA.

b. 9 estudiantes toman las tres asignaturas

Ya calculamos que la intersección triple tiene  5  elementos, por lo que esta afirmación es FALSA.

c. 15 estudiantes toman solo Física

En a.  calculamos que el conjunto Solo B tiene  20  elementos, por lo que esta afirmación es FALSA.

d. 6 estudiantes toman Álgebra y Física

Esta afirmación es FALSA, pues el planteamiento del problema indica que 15 estudiantes toman Álgebra y Física.

e. 12 toman Física y Álgebra, pero no Química.​

A∩B  -  A∩B∩C  =  15  -  5  =  10

Hay  10  estudiantes que tomaron Física y Álgebra, pero no Química, por lo que esta afirmación es FALSA.

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