En una empresa se ha encontrado que la función de producción con respecto al tiempo está dada por la inecuación 4t2−26t−48≥0, (donde t está en meses) por lo que se requiere determinar a partir de qué momento empieza a tener ganancia y el tiempo en el cual se tiene la producción más baja para poder tomar decisiones sobre el negocio.
Respuestas a la pregunta
En una empresa se ha encontrado que la función de producción con respecto al tiempo está dada por la inecuación 4t²−26t−48 ≥ 0, (donde t está en meses) por lo que se requiere determinar a partir de qué momento empieza a tener ganancia y el tiempo en el cual se tiene la producción más baja para poder tomar decisiones sobre el negocio.
Hola!!!
El enunciado nos indica una inecuacion valida para los t ≥ 0, por lo tanto debemos resolver para hallar los valores en que la gráfica corta al eje representativo del tiempo " t " y a partir de ello visualizar en que momento la producción comienza a dar ganancias.
P(t) = 4t² - 26t - 48 ≥ 0
Igualamos a cero y resolvemos por Formula General: t = (-b+-√b²-4×a×c)/2×a
4t² - 26t - 48 = 0
t = [26+-√(-26)²-4×4×(-48)]/2×4
t = (26+-√1444)8
t = (26 +- 38)/8 ⇒
t₁= (26 + 38)/8
t₁ = 64/8
t₁ = 8 Corte con el eje t
t₂ = (26 - 38)/8
t₂ = -12/8
t₂ = -3/2 Fuera del Dominio porque es < 0
Ahora estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la Función, esto lo realizamos con la Derivada Primera:
P(t) = 4t² - 26t - 48 ⇒
P'(t) = 8t - 26 ⇒
8t - 26 = 0 ⇒
t = 26/8
t = 13/4 ≡ 3.25 Abscisa del punto critico de la funcion.
Para hallar la ordenada sustituimos este valor en la ecuación original:
P(t) = 4t²−26t − 48
P(3.25) = 4(3.25)² - 26(3.25) - 48
P(t) = -90.25 Ordenada del punto critico.
Par saber si es un Maximo o Minimo hallamos la Derivada segunda y sustituimos el valor hallado anteriormente, teniendo en cuenta que:
Si P"(t) > 0 ⇒ Concavidad Positiva ⇒ Mínimo
Si P"(t) < 0 ⇒ Concavidad Negativa ⇒ Máximo
P'(t) = 8t - 26 ⇒
P"(t) = 8 > 0 ⇒ Mínimo (3.25 ; -90.25)
Graficamos (ver grafico en archivo adjunto) y observamos claramente:
A partir del mes 8 la Empresa comienza a tener Ganancias
La produccion mas baja esta justo en el Minimo de la Funcion y es a los :
3.25 meses = 3 meses y 8 días.
Espero haber ayudado!!
Saludos!!!