Question

En una empresa que produce calcímetros se sabe que el precio de venta " p " de cada calcímetro está definido por p=200-0,2x , donde "x" es el número de calcímetros que produce y vende mensualmente. ¿Cuánto es el nivel de ventas que permita maximizar el ingreso de la empresa, y cuánto es ese ingreso máximo?. El ingreso se mide en dólares

Answer 1

Respuesta:

Ingreso máximo: 50000 dólares y nivel de ventas: 500 calcímetros

Explicación paso a paso:

El dato que nos da el ejercicio se refiere a una función de demanda, pero necesitamos encontrar una función de ingreso

Tenemos que el ingreso (I) es igual a precio (p) por cantidad, que usualmente se denomina "q", pero que el ejercicio la llama "x". Por tanto:

I=p*x;  pero el ejercicio nos da el equivalente de "p"; entonces, reemplazamos:

I=(200-0.2x)*x   aplicamos propiedad distributiva y tenemos:

$I=-0.2x^{2}+200x$  Tenemos entonces una función de ingreso.

En la función así obtenida, tenemos que el mayor exponente es 2, por lo que se trata de una función cuadrática o de segundo grado, su forma es una parábola, que abre hacia abajo porque su término cuadrático es negativo.  Vamos a encontrar el nivel de x que maximice el ingreso

Tenemos entonces que $a=-0.2$  y $b=200$

Al ser el término cuadrático negativo, tenemos que "a"<0, y al abrir hacia abajo, el vértice será el punto más alto

Trabajemos entonces con el vértice de la parábola. Las coordenadas de dicho vértice son "x" para la coordenada en x, and "I", para la coordenada en y, donde I corresponde al ingreso máximo y x será el número de calcímetros o nivel de ventas asociado al ingreso máximo.

Encontremos "x" mediante la fórmula: $x=\frac{-b}{2a}$ , reemplazamos: $x=\frac{-200}{2*(-0.2)}=500$  es nivel de ventas que maximiza el ingreso

Ahora, para encontrar I, sustituímos el valor de "x" en la función de ingreso

$I=-0.2x^{2}+200x$;   $I=-0.2*500^{2}+200*500=50000$

Ingreso máximo: 50000 dólares y nivel de ventas: 500 calcímetros