Question

En una clase compuesta por treinta alumnos, se desea seleccionar una comisión constituida por cuatro de ellos. ¿Cuántas combinaciones distintas podrían formarse? ¿Cuál sería el número de comisiones posibles, en el supuesto de que un alumno concreto debiera, obligatoriamente, formar parte de la comisión?

Answer 1

Tarea:

En una clase compuesta por treinta alumnos, se desea seleccionar una comisión constituida por cuatro de ellos.

¿Cuántas combinaciones distintas podrían formarse?

¿Cuál sería el número de comisiones posibles, en el supuesto de que un alumno concreto debiera, obligatoriamente, formar parte de la comisión?

Respuesta:

En el primer caso, se pueden formar 27.405 comisiones

En el segundo caso, se pueden formar 3.654 comisiones

Explicación paso a paso:

Hemos de formar grupos de 4 alumnos y de esto podemos deducir qué tipo de modelo combinatorio hay que usar.

Si tomamos a los alumnos A, B, C y D, es lo mismo que si tomamos a los alumnos  B, D, A y C, es decir, es el mismo grupo de alumnos cambiado de orden, así que ya sabemos que el orden no se tiene en cuenta para distinguir entre dos grupos.

Siendo así, hemos de usar:

COMBINACIONES DE 30 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 4 EN 4 (n)

Su fórmula por factoriales:

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!*(m-n)!} \\ \\ \\ C_{30}^4= \dfrac{30!}{4!*(30-4)!}=\dfrac{30*29*28*27*26!}{4*3*2*1*26!} =\dfrac{657720}{24} =27.405\ comisiones$

Para el segundo caso, si uno de los alumnos siempre debe formar parte de la comisión, lo apartamos de los 30 y nos quedan 29 y también lo apartamos del grupo de 4 y deberemos formar grupos de 3, o sea:

COMBINACIONES DE 29 ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3

$C_{29}^3= \dfrac{29!}{3!*(29-3)!}=\dfrac{29*28*27*26!}{3*2*1*26!} =\dfrac{21924}{6} =3.654\ comisiones$

Saludos.