Question

En una ciudad, la población en millones de habitantes ha sido determinada por la función P(t):
P(t)=8/(1+8e^(-2t) )
Calcule la cantidad inicial de habitantes.
Calcule cuantas personas habrá en la ciudad al cabo del primer año.
Calcule que pasará con la población de la ciudad en el largo plazo.

Answer 1

$P(t)=\dfrac{8}{1+8e^{-2t}} \\[8pt]1) \text{ Cantidad inicial de habitantes , evaluar para }t=0 \\P(0)=\dfrac{8}{1+8e^{-(2)(0)}}=\dfrac{8}{9} \ \text{en millones} \\[8pt]2)\text{Cantidad de habitantes despu\'es de 1 a\~no , evaluar para }t=1 \\P(1)=\dfrac{8}{1+8e^{-(2)(1)}}=3.8412 \ \text{en millones} \\[8pt]3) \text{ A largo plazo , analizar cuando }x\to \infty \\\displaystyle \lim_{x\to \infty}P(t)= \lim_{x\to \infty}\dfrac{8}{1+8e^{-2t}} =\dfrac{8}{1+8(0)}=8 \\[2pt]$

$\text{La poblaci\'on tiende a estabilizarse en 8 millones }$

Answer 2

Planteamiento:

La población en millones de habitantes ha sido determinada por la función P(t):

P(t) = 8/[1+8e^(-2t)]

Cuando t = 0 años, tenemos que:

P(0) = 8/[1+8e^(-2·0)]

P(0) = 8/9 = 0,88 millones de habitantes.

Población al cabo del primero año, tenemos que:

P(1) =  8/[1+8e^(-2·1)]

P(1) = 3,84 millones de habitantes

Ahora a largo plazo debemos calcular el limite cuando el tiempo tiende a infinito, tenemos que:

Limₓ.∞ 8/[1+8e^(-2t)] = 8 millones de habitantes aproximadamente

Por tanto a largo plazo tiende a 8 millones de habitantes