Question

En una circunferencia, si el diámetro AB es perpendicular a la cuerda CD en E, demostrar

que CD² = 4AE · BE​

Answer 1

En la circunferencia tenemos la siguiente equivalencia entre la cuerda CD y el diámetro AB: $CD^2=4AE.EB$

Explicación paso a paso:

Si el diámetro AB es perpendicular a la cuerda CD en el punto E, se forman los triángulos rectángulos ABC y ADC cuya hipotenusa es AB. En estos triángulos podemos aplicar el teorema de la altura, entonces tenemos:

$CE^2=EA.EB$

Por propiedades de las cuerdas tenemos que EC=DE. Por lo que queda CD=2EC, en la expresión anterior multiplicamos por 4 en ambos miembros:

$4CE^2=4AE.EB\\\\4CE^2=(2CE)^2\\\\2CE=CD=>CD^2=4AE.EB$