Question

En una circunferencia de radio 1 cm se circunscribe un pentágono regular. ¿Cuál será la medida de cada lado?

Answer 1

Cada lado del pentágono será tangente a la circunferencia, por lo tanto el radio de esta será la apotema del pentágono.

Recurriendo a calcular el ángulo central podremos obtener el lado a partir de la función trigonométrica de la tangente.

El ángulo total de la circunferencia es de 360º, siempre.
Dividiendo ese ángulo entre 5 ángulos interiores que tiene el pentágono tenemos que cada interior mide: 360 : 5 = 72º

Trazados dos radios consecutivos, forman un triángulo isósceles con el lado del pentágono. Trazamos la altura de ese triángulo que será la apotema mencionada antes que es el mismo radio de la circunferencia.

Dicha altura divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos y conocemos uno de los ángulos que es la mitad del ángulo interior hallado antes, es decir: 72 : 2 = 36º

Recurriendo a la función tangente, el cateto opuesto a ese ángulo será la mitad del lado del pentágono y el cateto contiguo o adyacente será la altura conocida de 1 cm.:

Sen. 36º = Cat. opuesto (lado) / Cat. contiguo (radio)
Sen. 36º = 0,587
$0,587 = \frac{c.opuesto}{1} \\ \\ Cat.opuesto(mitad.del.lado)=0,587$

Por tanto el lado medirá: 0,587×2 = 1,175 cm.

Saludos.