Question

en un triangulo rectangulo un cateto es el triple del otro. calcula la cosecante del menor angulo agudo del triangulo.

Answer 1

Solución:

Tenemos:
Cateto mayor = 3x
Cateto menor = x
Hipotenusa = h
Angulo menor (al cateto menor) = α

Utilizar teorema de pitagoras y hallar hipotenusa
h = √(x² + (3x)²) =√(x² + 9x²) = √(10x²) = x√10 

csec α = h / x = x√10 / x = √10 

Answer 2

Un triángulo rectángulo es aquel cuyo uno de sus lados es un ángulo recto, es decir, de 90°. Las razones trigonométricas de este se encuentran fácilmente definidas.

Para este caso, la cosecante, csc, es igual a $\sqrt[]{10}$.

Sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo debe ser igual a 180°. Teniendo ya uno de 90°, los dos restantes deben ser necesariamente agudos, es decir, menores de 90°, para que su suma sea justamente esta.

Ahora bien, el menor ángulo, $\alpha$, será el formado entre el cateto más largo, $3l$, y la hipotenusa, $h$, por tanto, el cateto más corto, $l$, es necesariamente el opuesto. Recordemos que el seno de un ángulo es igual a la relación entre el cateto opuesto a este, y la hipotenusa. De acá

$sen\alpha =l/h$

La cosecante es la razón recíproca del seno, por tanto, su inverso multiplicativo, de acá que

$csc\alpha =h/l$

Conocemos la relación entre catetos, no la de $h$, pero podemos calcular con teorema de pitágoras.

$h^{2}=l^{2}+(3l)^{2}\\\\h=\sqrt[]{l^{2}+(3l)^{2}} =\sqrt[]{l^{2}+9l^{2}}=\sqrt[]{10l^{2}} \\h=\sqrt[]{10} l$

Con esta expresión de $h$, retomamos la cosecante,

$csc\alpha =h/l\\\\csc\alpha =\frac{\sqrt{10}l }{l} =\sqrt{10}$

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