Question

En un triángulo rectángulo, su cateto mayor mide 7 unidades más que el menor y su área es de 30 u2 ¿Cuánto mida cada uno de los catetos?



Plantea una ecuación cuadrática y aplica formula general para dar respuesta a dicho problema.

AYUDA

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Answer 1

Respuesta:

El cateto mayor mide 12 y el menor 5

Explicación paso a paso:

Tenemos un triángulo rectángulo (es decir que posee un ángulo de 90 grados) con catetos "a" y "b", (la hipotenusa es c, pero no te preocupes por ella porque no te la piden en el problema).

El problema indica que un cateto es mayor que otro por 7 unidades, asumimos "a" como el cateto mayor y tenemos esta ecuación:

$a = b+7$

Le sumamos 7 al cateto menor porque es lo que le falta para igualar al mayor. Después reemplazamos los datos en la fórmula para hallar el área de un triángulo, base por altura entre 2. En este caso de los triángulos rectángulos, un cateto sería la base y el otro la altura. Sea, "A" el área del triángulo rectángulo tenemos la siguiente ecuación:

$A = \frac{a . b}{2}$

Reemplazamos el valor de "a" y multiplicando nos queda:

$A = \frac{(b + 7)b}{2} = \frac{b^{2}+7b }{2}$

Ahora recordamos que en el problema nos dicen que el área es 30$u^{2}$ así reemplazamos el valor del área en nuestra ecuación y operamos:

$\frac{b^{2}+7b }{2} = 30\\\\b^{2} + 7b = 60\\\\b^{2} + 7b - 60= 0$

Para aplicar fórmula general, tenemos que saber los coeficientes de esta ecuación cuadrática y el término independiente, el que no tiene variable.

Usaremos a, b y c para denotar a estos coeficientes:

a  = 1, coeficiente numérico del $b^{2}$ (es un 1 invisible delante del "b" cuadrado)

b = 7, coeficiente numérico del $b$

c = -60, término independiente (se debe poner con signo y todo)

Ahora reemplazas esos términos en la fórmula general (ahí te dejo la imagen)

Finalmente te deben salir dos resultados para el valor de $b$:

$b = -12\\b = 5$

Escogemos el 5 porque la medida de un cateto no puede ser negativa (las distancias no pueden ser negativas bajo ningún caso)

Luego, ahora que ya tenemos el valor de "b" reemplazamos su valor en la ecuación a = b + 7 y obtenemos que "a" es igual a 12.

Espero haberte ayudado!