En un triángulo rectángulo, el perímetro es 80 cm y el coseno de uno de los ángulos agudos es 8/17. Hallar la longitud de su hipotenusa.
Respuestas a la pregunta
Sabiendo que un triángulo rectángulo tiene un perímetro de 80 cm y el coseno de uno de los ángulos agudos es 8/17, podemos afirmar que la longitud de la hipotenusa es de 34 cm.
¿Cuál es el perímetro de un triángulo?
El perímetro de un triángulo viene siendo la suma de todos sus lados.
¿Qué define el teorema de Pitágoras?
El teorema de Pitágoras nos dice que para un triángulo rectángulo se cumple:
c² = a² + b²
Donde:
- c = hipotenusa
- a y b = catetos
Resolución
- Análisis de la función coseno
Inicialmente definimos el coseno del ángulo:
cos(α) = 8 / 17 = CA / H
De la expresión anterior tenemos que:
- CA = 8k
- H = 17k
Donde ''k'' es una constante de proporcionalidad.
- Definición del perímetro y cálculo del lado faltante
El perímetro del triángulo será:
80 cm = 8k + 17k + b
Para encontrar ''b'' usamos el teorema de Pitágoras:
(17k)² = (8k)² + b²
b² = 225
b = 15k
Obtenemos la constante de proporcionalidad:
80 = 8k + 17k + 15k
40k = 80
k = 2
- Cálculo de la hipotenusa
Finalmente, la hipotenusa será:
17k = 17·2 = 34 cm
Por tanto, la longitud de la hipotenusa es de 34 cm.
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Respuesta:
La longitud de la hipotenusa es de 34 cm.