Question

en un triangulo rectangulo el mayor de los angulos agudos es el doble del menor . si la hipotenusa es igual a 10 calcule el menor de los catetos

Answer 1

Respuesta:

5

Explicación paso a paso:

Si tenemos que hallar la longitud de un cateto a partir de la hipotenusa, debemos saber la medida de todos los ángulos internos.

En un triángulo rectángulo, siempre hay un ángulo recto.

La suma de ángulos internos de un triángulo es siempre 180°. Sabiendo que uno de los ángulos mide el doble que el otro, podemos hallar la medida de todos los ángulos planteando una ecuación.

Plantearemos la ecuación como si $x$ fuera el menor de los ángulos.

$x+2x+90=180\\3x+90=180\\3x=180-90\\3x=90\\x=\frac{90}{3}\\ x=30$

El menor de los ángulos mide 30°. Como el otro mide el doble, mide 60°.

Ahora sabemos que las medidas de los ángulos internos del triángulo son 30°, 60° y 90°. Esto nos indica que el triángulo es un triángulo notable, es decir, podemos utilizar razones para hallar la medida de los lados, si conocemos la medida de uno.

Adjunta una lista de los triángulos notables.

Sabemos que la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) mide 10, por tanto, 10 equivale a $2k$.

Nos piden hallar la medida del lado más corto. El lado más pequeño siempre se opone al ángulo de menor medida. Viendo la imagen, vemos que el lado más corto equivale a $k$.

Planteamos otra ecuación para hallar k.

$10=2k\\\frac{10}{2}=k\\5=k$

El lado más corto mide 5.